نعطى أن مقدار الفيكتور $\mathbf{v}$ هو 4. نريد حساب العملية النقطية لهذا الفيكتور مع نفسه.
لنفترض أن $\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)$ هو الفيكتور ذو الأبعاد الثلاثة. إذاً، العملية النقطية بين $\mathbf{v}$ ونفسه يمكن تعبيرها بالصيغة التالية:
حيث $v_1, v_2,$ و $v_3$ هي مكونات الفيكتور $\mathbf{v}$.
وبما أن مقدار الفيكتور $\mathbf{v}$ هو 4، يمكننا استخدام هذه المعلومة لحساب العملية النقطية. إذاً، نحصل على:
لذا، العملية النقطية للفيكتور $\mathbf{v}$ مع نفسه تساوي 48.
المزيد من المعلومات
لحل المسألة وحساب العملية النقطية للفيكتور $\mathbf{v}$ مع نفسه، سنحتاج إلى فهم مفهوم العملية النقطية واستخدام القوانين المتعلقة بها.
العملية النقطية (Dot Product) بين الفيكتورين هي عملية تعريفها ضرب المكونات المتناظرة للفيكتورين وجمع الناتج. لفيكتورات $\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)$ و $\mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3)$، فإن العملية النقطية تعرف بالصيغة التالية:
ويمكن تمثيل العملية النقطية بطريقة أخرى باستخدام القوانين التالية:
- القانون الأول للعملية النقطية: $\mathbf{v} \cdot \mathbf{u} = |\mathbf{v}| |\mathbf{u}| \cos(\theta)$ حيث $|\mathbf{v}|$ و $|\mathbf{u}|$ هما مقدار الفيكتورين و $\theta$ هو الزاوية بينهما.
- القانون الثاني للعملية النقطية: إذا كانت $\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)$ و $\mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3)$، فإن $\mathbf{v} \cdot \mathbf{u} = v_1u_1 + v_2u_2 + v_3u_3$.
في حالتنا، لدينا الفيكتور $\mathbf{v}$ مع نفسه. وبما أن مقدار $\mathbf{v}$ هو 4، فإن $\mathbf{v} = (4, 4, 4)$.
باستخدام القانون الثاني للعملية النقطية، يمكننا حساب العملية النقطية لـ $\mathbf{v}$ مع نفسه على النحو التالي:
لذا، نتوصل إلى أن العملية النقطية للفيكتور $\mathbf{v}$ مع نفسه تساوي 48.