حساب الضرب لأعداد معقدة والقيمة المطلقة (مسألة رياضيات)

مسألة القيمة المطلقة لضرب (12-9i) و (8+15i) هي حاصل ضرب العددين الخياليين المعقدين (12-9i) و (8+15i) بعد ذلك يتم حساب القيمة المطلقة للناتج.

ضرب العددين يتم عن طريق استخدام قاعدة الضرب في الجبر، حيث نضرب كل عنصر في العدد الأول في كل عنصر في العدد الثاني، ثم نقوم بجمع وطرح النواتج للأعداد الحقيقية والخيالية.

لنقم بالحساب:

$(12-9i) \times (8+15i) = 12 \times 8 + 12 \times 15i – 9i \times 8 – 9i \times 15i$

$\text{التبسيط: } 96 + 180i – 72i – 135i^2$

نعلم أن $i^2 = -1$, لذلك:

$96 + 180i – 72i + 135 = 96 + 108i – 135$

$= -39 + 108i$

الآن، سنقوم بحساب القيمة المطلقة:

$| -39 + 108i| = \sqrt{(-39)^2 + (108)^2}$

$= \sqrt{1521 + 11664}$

$= \sqrt{13185}$

$= 115 \sqrt{3}$

إذا كانت المسألة تتطلب الرد باللغة العربية، فيمكنني تقديم نفس الإجابة بلغة أكثر وضوحا:

القيمة المطلقة لضرب (12-9i) و (8+15i) تكون 115√3.

لنقم بحساب الضرب (12-9i) و (8+15i) بالتفصيل، سنستخدم قاعدة الضرب في الجبر، ونطبق القوانين التالية:

1. قاعدة الضرب:
   $(a + bi) \times (c + di) = ac + adi + bci + bdi^2$

2. تعريف $i^2$:
   $i^2 = -1$

لحل المسألة:

$(12-9i) \times (8+15i) = 12 \times 8 + 12 \times 15i – 9i \times 8 – 9i \times 15i$

$= 96 + 180i – 72i – 135i^2$

نستخدم تعريف $i^2$:

$= 96 + 180i – 72i – 135(-1)$

$= 96 + 180i – 72i + 135$

$= 231 + 108i$

الخطوة التالية هي حساب القيمة المطلقة:

$|231 + 108i| = \sqrt{(231)^2 + (108)^2}$

$= \sqrt{53361 + 11664}$

$= \sqrt{65025}$

$= 255$

لكن عندما قمنا بحساب القيمة المطلقة في الرد السابق، حصلنا على $115\sqrt{3}$. إعتذر عن الخطأ في الإجابة السابقة. سأقوم الآن بتصحيح ذلك.

إذا كانت لديك أي أسئلة إضافية أو تحتاج إلى مزيد من التوضيح، فلا تتردد في طرحها.