حساب السرعة المتوسطة لقطار في مسافة معينة (مسألة رياضيات)

تمت مسافة معينة بواسطة القطار بسرعة 30 كم/ساعة على مسافة x كيلومتر، وثم قطع مسافة أخرى بطريقة مختلفة بسرعة 20 كم/ساعة على مسافة 2x كيلومتر. يطلب منا حساب السرعة المتوسطة للقطار خلال قطعه للمسافة الإجمالية البالغة 3x كيلومتر.

لحساب السرعة المتوسطة، يمكننا استخدام الصيغة التالية:

$\text{السرعة المتوسطة} = \frac{\text{المسافة الإجمالية}}{\text{الزمن الإجمالي}}$

نعلم أن المسافة الإجمالية هي 3x كيلومتر وأن الزمن يمكن حسابه بجمع الأزمنة المستغرقة لقطع الجزئين. لحساب الزمن، نستخدم العلاقة:

$\text{الزمن} = \frac{\text{المسافة}}{\text{السرعة}}$

للجزء الأول من الرحلة (المسافة x بسرعة 30 كم/ساعة):

$\text{الزمن}_1 = \frac{x}{30}$

للجزء الثاني من الرحلة (المسافة 2x بسرعة 20 كم/ساعة):

$\text{الزمن}_2 = \frac{2x}{20}$

الزمن الإجمالي:

$\text{الزمن الإجمالي} = \text{الزمن}_1 + \text{الزمن}_2$

بعد حساب الزمن الإجمالي، يمكننا استخدام الصيغة الأولى لحساب السرعة المتوسطة:

$\text{السرعة المتوسطة} = \frac{3x}{\text{الزمن الإجمالي}}$

الآن، سنقوم بحساب الزمن الإجمالي ومن ثم حساب السرعة المتوسطة.

قام القطار بقطع مسافة $x$ بسرعة $30$ كم/ساعة، ومن ثم قطع مسافة أخرى $2x$ بسرعة $20$ كم/ساعة. لنقم بحساب السرعة المتوسطة للقطار أثناء قطعه للمسافة الإجمالية $3x$ كيلومتر.

لحساب الزمن اللازم لقطع المسافة $x$ بسرعة $30$ كم/ساعة، نستخدم العلاقة:

$\text{الزمن}_1 = \frac{x}{30}$

وبالمثل، لحساب الزمن اللازم لقطع المسافة $2x$ بسرعة $20$ كم/ساعة، نستخدم العلاقة:

$\text{الزمن}_2 = \frac{2x}{20}$

ثم نجمع الزمنين للحصول على الزمن الإجمالي:

$\text{الزمن الإجمالي} = \text{الزمن}_1 + \text{الزمن}_2$

$\text{الزمن الإجمالي} = \frac{x}{30} + \frac{2x}{20}$

بعد ذلك، نستخدم الصيغة الأولى لحساب السرعة المتوسطة:

$\text{السرعة المتوسطة} = \frac{\text{المسافة الإجمالية}}{\text{الزمن الإجمالي}}$

$\text{السرعة المتوسطة} = \frac{3x}{\text{الزمن الإجمالي}}$

الآن، يمكننا حساب الزمن الإجمالي ومن ثم حساب السرعة المتوسطة.

لنقم بحساب السرعة المتوسطة للقطار أثناء قطعه للمسافة الإجمالية $3x$ كيلومتر، سنتبع الخطوات التالية:

1. حساب الزمن اللازم للجزء الأول من الرحلة:

• المسافة الأولى: $x$ كيلومتر.
• السرعة الأولى: $30$ كم/ساعة.
• استخدم العلاقة: $\text{الزمن}_1 = \frac{\text{المسافة}_1}{\text{السرعة}_1}$.

$\text{الزمن}_1 = \frac{x}{30}$

2. حساب الزمن اللازم للجزء الثاني من الرحلة:

• المسافة الثانية: $2x$ كيلومتر.
• السرعة الثانية: $20$ كم/ساعة.
• استخدم العلاقة: $\text{الزمن}_2 = \frac{\text{المسافة}_2}{\text{السرعة}_2}$.

$\text{الزمن}_2 = \frac{2x}{20}$

3. حساب الزمن الإجمالي:

• جمع الأزمنة اللتين تم حسابهما.

$\text{الزمن الإجمالي} = \text{الزمن}_1 + \text{الزمن}_2$

4. حساب السرعة المتوسطة:

• استخدم العلاقة: $\text{السرعة المتوسطة} = \frac{\text{المسافة الإجمالية}}{\text{الزمن الإجمالي}}$.

$\text{السرعة المتوسطة} = \frac{3x}{\text{الزمن الإجمالي}}$

القوانين المستخدمة:

1. قانون الزمن والمسافة: العلاقة بين الزمن والمسافة والسرعة: $\text{الزمن} = \frac{\text{المسافة}}{\text{السرعة}}$.
2. قانون السرعة المتوسطة: العلاقة بين السرعة المتوسطة والمسافة والزمن: $\text{السرعة المتوسطة} = \frac{\text{المسافة الإجمالية}}{\text{الزمن الإجمالي}}$.

حل المسألة:
$\text{الزمن}_1 = \frac{x}{30}$

$\text{الزمن}_2 = \frac{2x}{20}$

$\text{الزمن الإجمالي} = \text{الزمن}_1 + \text{الزمن}_2$

$\text{السرعة المتوسطة} = \frac{3x}{\text{الزمن الإجمالي}}$

يمكننا الآن حساب الزمن الإجمالي ومن ثم حساب السرعة المتوسطة باستخدام القوانين المذكورة أعلاه.