حساب الزاوية بين متجهين: مسألة الزاوية المتعامدة (مسألة رياضيات)

نظرًا لأن $\mathbf{a} + 2 \mathbf{b}$ و $5 \mathbf{a} – 4 \mathbf{b}$ متعامدة، فإنّ حاصل ضرب النقطة بينهما يكون صفرًا. بالتالي:

$(\mathbf{a} + 2 \mathbf{b}) \cdot (5 \mathbf{a} – 4 \mathbf{b}) = 0$

الآن لنحسب هذا الحاصل:

$(\mathbf{a} + 2 \mathbf{b}) \cdot (5 \mathbf{a} – 4 \mathbf{b}) = 5\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} – 4\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + 10\mathbf{b} \cdot \mathbf{a} – 8\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}$

لكن نعلم أن حاصل ضرب النقطة بين الوحدة النمطية لأي ناقصين يعادل الكوساين للزاوية بينهما. بمعنى آخر:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = ||\mathbf{a}||^2 = 1$
$\mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = ||\mathbf{b}||^2 = 1$
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = ||\mathbf{a}|| \cdot ||\mathbf{b}|| \cdot \cos(\theta) = \cos(\theta)$

حيث $\theta$ هو الزاوية بين $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$.

بما أننا نعرف أن $\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = 1$ و $\mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = 1$، فإننا نستخدم ذلك للتبسيط. بالتالي، المعادلة تصبح:

$5 – 4\cos(\theta) + 10\cos(\theta) – 8 = 0$

وبترتيب الأعضاء:

$2\cos(\theta) = \frac{3}{2}$

إذاً:

$\cos(\theta) = \frac{3}{4}$

وبالتالي:

$\theta = \arccos\left(\frac{3}{4}\right)$

الآن يمكننا حساب قيمة $\theta$ باستخدام الآرك تانجنت. ولكن نحن بحاجة للتحويل إلى درجات. لذا:

$\theta = \arccos\left(\frac{3}{4}\right) \approx 41.41^\circ$

لذا، الزاوية بين $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ تقريبًا تساوي 41.41 درجة.

في هذه المسألة، نحن مطالبون بحساب الزاوية بين الوحدات النمطية $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ باستخدام المعلومات المعطاة حول المتجهات $\mathbf{a} + 2 \mathbf{b}$ و $5 \mathbf{a} – 4 \mathbf{b}$ وأنهما متعامدتان.

لحل هذه المسألة، نستخدم القانون الذي ينص على أن حاصل ضرب النقطة بين متجهين متعامدين يساوي صفر. يمكننا استخدام هذا القانون للعبارتين المعطاة:

$(\mathbf{a} + 2 \mathbf{b}) \cdot (5 \mathbf{a} – 4 \mathbf{b}) = 0$

نستخدم خاصية توزيع الضرب لحساب هذا الحاصل:

$(\mathbf{a} \cdot 5\mathbf{a}) + (\mathbf{a} \cdot -4\mathbf{b}) + (2\mathbf{b} \cdot 5\mathbf{a}) + (2\mathbf{b} \cdot -4\mathbf{b}) = 0$

ومن خلال خواص الضرب النقطي، نعلم أن $\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = ||\mathbf{a}||^2 = 1$ و $\mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = ||\mathbf{b}||^2 = 1$، وكذلك $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = ||\mathbf{a}|| \cdot ||\mathbf{b}|| \cdot \cos(\theta)$ حيث $\theta$ هو الزاوية بين المتجهين.

باستخدام هذه المعرفة، نستطيع تبسيط المعادلة إلى:

$5 – 4\cos(\theta) + 10\cos(\theta) – 8 = 0$

ومن ثم نقوم بترتيب الأعضاء للحصول على:

$2\cos(\theta) = \frac{3}{2}$

ومن هنا نحصل على:

$\cos(\theta) = \frac{3}{4}$

ثم نقوم بحساب الزاوية باستخدام دالة الجيب المعكوسة $\arccos$:

$\theta = \arccos\left(\frac{3}{4}\right)$

وأخيرًا، نقوم بتحويل النتيجة إلى درجات للحصول على القيمة النهائية للزاوية بين المتجهين.

القوانين المستخدمة هنا هي:

1. قانون حاصل ضرب النقطة بين متجهين متعامدين يساوي صفر.
2. خواص الضرب النقطي وتحديداً $\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = ||\mathbf{a}||^2 = 1$ و $\mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = ||\mathbf{b}||^2 = 1$، وكذلك $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = ||\mathbf{a}|| \cdot ||\mathbf{b}|| \cdot \cos(\theta)$.