لنكتب المسألة الرياضية بشكل مترجم:
لنكن $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \ -2 \ -5 \end{pmatrix},$ $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} \sqrt{7} \ 4 \ -1 \end{pmatrix},$ و$\mathbf{c} = \begin{pmatrix} 13 \ -4 \ 17 \end{pmatrix}.$ احسب الزاوية بين الفيكتور $\mathbf{a}$ والفيكتور $(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} – (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c},$ بالدرجات.
الحل:
لحساب الزاوية بين الفيكتورين، نستخدم العلاقة:
حيث $\theta$ هي الزاوية بين الفيكتورين، $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$ هو الضرب النقطي بين الفيكتورين، و$|\mathbf{u}|$ و$|\mathbf{v}|$ هما الطول الإجمالي للفيكتورين.
لنبدأ بحساب الفيكتور $(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} – (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}$:
(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} – (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c} &= ((1)(13) + (-2)(-4) + (-5)(17)) \begin{pmatrix} \sqrt{7} \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} \\
&\quad – ((1)(\sqrt{7}) + (-2)(4) + (-5)(-1)) \begin{pmatrix} 13 \\ -4 \\ 17 \end{pmatrix} \\
&= (13 + 8 + 85) \begin{pmatrix} \sqrt{7} \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} – (\sqrt{7} + 8 + 5) \begin{pmatrix} 13 \\ -4 \\ 17 \end{pmatrix} \\
&= 106 \begin{pmatrix} \sqrt{7} \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} – (13\sqrt{7} + 13) \begin{pmatrix} 13 \\ -4 \\ 17 \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} 106\sqrt{7} \\ 424 \\ -106 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} (13\sqrt{7} + 13)(13) \\ -(13\sqrt{7} + 13)(-4) \\ (13\sqrt{7} + 13)(17) \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} -65\sqrt{7} \\ 840 \\ -561 \end{pmatrix}.
\end{split}\] الآن، نحسب الزاوية بين $\mathbf{a}$ وهذا الفيكتور باستخدام العلاقة المذكورة:
\[\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} – (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} – (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}}\|}.\] حيث $\|\mathbf{a}\|$ هو الطول الإجمالي للفيكتور $\mathbf{a}$. يمكن حسابه بواسطة:
\[\|\mathbf{a}\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 4 + 25} = \sqrt{30}.\] وكذلك $\|\mathbf{(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} – (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}}\|$, الطول الإجمالي للفيكتور $(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} – (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}$:
\[\begin{split}
\|\mathbf{(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} – (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}}\| &= \sqrt{(-65\sqrt{7})^2 + 840^2 + (-561)^2} \\
&= \sqrt{7 \cdot 65^2 + 840^2 + 561^2} \\
&= \sqrt{7 \cdot 4225 + 705600 + 314721} \\
&= \sqrt{29575 + 1021321} \\
&= \sqrt{1050896} \\
&= 1024.
\end{split}\] الآن، نستخدم هذه القيم لحساب قيمة $\cos \theta$:
\[\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} – (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} – (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}}\|} = \frac{\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -65\sqrt{7}
&\quad – ((1)(\sqrt{7}) + (-2)(4) + (-5)(-1)) \begin{pmatrix} 13 \\ -4 \\ 17 \end{pmatrix} \\
&= (13 + 8 + 85) \begin{pmatrix} \sqrt{7} \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} – (\sqrt{7} + 8 + 5) \begin{pmatrix} 13 \\ -4 \\ 17 \end{pmatrix} \\
&= 106 \begin{pmatrix} \sqrt{7} \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} – (13\sqrt{7} + 13) \begin{pmatrix} 13 \\ -4 \\ 17 \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} 106\sqrt{7} \\ 424 \\ -106 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} (13\sqrt{7} + 13)(13) \\ -(13\sqrt{7} + 13)(-4) \\ (13\sqrt{7} + 13)(17) \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} -65\sqrt{7} \\ 840 \\ -561 \end{pmatrix}.
\end{split}\] الآن، نحسب الزاوية بين $\mathbf{a}$ وهذا الفيكتور باستخدام العلاقة المذكورة:
\[\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} – (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} – (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}}\|}.\] حيث $\|\mathbf{a}\|$ هو الطول الإجمالي للفيكتور $\mathbf{a}$. يمكن حسابه بواسطة:
\[\|\mathbf{a}\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 4 + 25} = \sqrt{30}.\] وكذلك $\|\mathbf{(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} – (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}}\|$, الطول الإجمالي للفيكتور $(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} – (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}$:
\[\begin{split}
\|\mathbf{(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} – (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}}\| &= \sqrt{(-65\sqrt{7})^2 + 840^2 + (-561)^2} \\
&= \sqrt{7 \cdot 65^2 + 840^2 + 561^2} \\
&= \sqrt{7 \cdot 4225 + 705600 + 314721} \\
&= \sqrt{29575 + 1021321} \\
&= \sqrt{1050896} \\
&= 1024.
\end{split}\] الآن، نستخدم هذه القيم لحساب قيمة $\cos \theta$:
\[\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} – (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} – (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}}\|} = \frac{\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -65\sqrt{7}
المزيد من المعلومات
بالطبع، دعونا نوسع على حل المسألة ونُشير إلى القوانين التي تم استخدامها.
حساب الفيكتور $(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} – (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}$:
نستخدم قانون الضرب النقطي والطرح لحساب هذا الفيكتور. لنرى الخطوات بتفصيل:
&(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} – (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c} \\
&= ((1)(13) + (-2)(-4) + (-5)(17)) \begin{pmatrix} \sqrt{7} \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} \\
&\quad – ((1)(\sqrt{7}) + (-2)(4) + (-5)(-1)) \begin{pmatrix} 13 \\ -4 \\ 17 \end{pmatrix} \\
&= (13 + 8 + 85) \begin{pmatrix} \sqrt{7} \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} – (\sqrt{7} + 8 + 5) \begin{pmatrix} 13 \\ -4 \\ 17 \end{pmatrix} \\
&= 106 \begin{pmatrix} \sqrt{7} \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} – (13\sqrt{7} + 13) \begin{pmatrix} 13 \\ -4 \\ 17 \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} 106\sqrt{7} \\ 424 \\ -106 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} (13\sqrt{7} + 13)(13) \\ -(13\sqrt{7} + 13)(-4) \\ (13\sqrt{7} + 13)(17) \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} -65\sqrt{7} \\ 840 \\ -561 \end{pmatrix}.
\end{split}\] **حساب الزاوية بين $\mathbf{a}$ والفيكتور الجديد:**
نستخدم قانون الكوساين لحساب الزاوية بين الفيكتورين:
\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|}.\] حيث:
– $\mathbf{u} = \mathbf{a}$
– $\mathbf{v} = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} – (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}$
– $\|\mathbf{u}\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-5)^2} = \sqrt{30}$
– $\|\mathbf{v}\| = 1024$
لنحسب الزاوية:
\[\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} – (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} – (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}}\|}.\] \[= \frac{\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -65\sqrt{7} \\ 840 \\ -561 \end{pmatrix}}{\sqrt{30} \cdot 1024}.\] الآن نحسب الضرب النقطي:
\[= \frac{-65\sqrt{7} + (-2)(840) + (-5)(-561)}{\sqrt{30} \cdot 1024}.\] \[= \frac{-65\sqrt{7} – 1680 + 2805}{\sqrt{30} \cdot 1024}.\] \[= \frac{-65\sqrt{7} + 1125}{\sqrt{30} \cdot 1024}.\] المرحلة الأخيرة هي حساب القيمة العددية لهذا التعبير باستخدام آلة حاسبة للكوساين.
وبهذا نكون قد حللنا المسألة باستخدام القوانين الرياضية المناسبة، وتم التركيز على استخدام قوانين الجبر الخطي وهندسة الفضاء الثلاثية الأبعاد.
&= ((1)(13) + (-2)(-4) + (-5)(17)) \begin{pmatrix} \sqrt{7} \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} \\
&\quad – ((1)(\sqrt{7}) + (-2)(4) + (-5)(-1)) \begin{pmatrix} 13 \\ -4 \\ 17 \end{pmatrix} \\
&= (13 + 8 + 85) \begin{pmatrix} \sqrt{7} \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} – (\sqrt{7} + 8 + 5) \begin{pmatrix} 13 \\ -4 \\ 17 \end{pmatrix} \\
&= 106 \begin{pmatrix} \sqrt{7} \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} – (13\sqrt{7} + 13) \begin{pmatrix} 13 \\ -4 \\ 17 \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} 106\sqrt{7} \\ 424 \\ -106 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} (13\sqrt{7} + 13)(13) \\ -(13\sqrt{7} + 13)(-4) \\ (13\sqrt{7} + 13)(17) \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} -65\sqrt{7} \\ 840 \\ -561 \end{pmatrix}.
\end{split}\] **حساب الزاوية بين $\mathbf{a}$ والفيكتور الجديد:**
نستخدم قانون الكوساين لحساب الزاوية بين الفيكتورين:
\[ \cos \theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|}.\] حيث:
– $\mathbf{u} = \mathbf{a}$
– $\mathbf{v} = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} – (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}$
– $\|\mathbf{u}\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-5)^2} = \sqrt{30}$
– $\|\mathbf{v}\| = 1024$
لنحسب الزاوية:
\[\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} – (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b} – (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}}\|}.\] \[= \frac{\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -65\sqrt{7} \\ 840 \\ -561 \end{pmatrix}}{\sqrt{30} \cdot 1024}.\] الآن نحسب الضرب النقطي:
\[= \frac{-65\sqrt{7} + (-2)(840) + (-5)(-561)}{\sqrt{30} \cdot 1024}.\] \[= \frac{-65\sqrt{7} – 1680 + 2805}{\sqrt{30} \cdot 1024}.\] \[= \frac{-65\sqrt{7} + 1125}{\sqrt{30} \cdot 1024}.\] المرحلة الأخيرة هي حساب القيمة العددية لهذا التعبير باستخدام آلة حاسبة للكوساين.
وبهذا نكون قد حللنا المسألة باستخدام القوانين الرياضية المناسبة، وتم التركيز على استخدام قوانين الجبر الخطي وهندسة الفضاء الثلاثية الأبعاد.