حساب الجمعيات الرياضية: مثال تفصيلي (مسألة رياضيات)

المسألة الحسابية التي تحتاج إلى تقييمها هي:

$C(98, 96) = \frac{98!}{96! \cdot 2!}$

الحل:

نعلم أن $C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$ يمثل الجمعية أو الاختيار بدون تكرار، حيث $n!$ هو عامل التشغيل للعدد n ويمثل الضرب من 1 إلى n.

في هذه المسألة، نحن نريد حساب مجموعات الحجم 96 من مجموعة تحتوي على 98 عنصرًا.

نبدأ بحساب العوامل:

$98! = 98 \times 97 \times 96!$

و

$96! = 96 \times 95 \times 94 \times \ldots \times 2 \times 1$

و

$2! = 2 \times 1$

نضع هذه القيم في المعادلة الأصلية:

$C(98, 96) = \frac{98 \times 97 \times 96!}{96! \times 2!}$

نلاحظ أن $96!$ في البسط والمقام تُختصران، لذا يبقى:

$C(98, 96) = \frac{98 \times 97}{2}$

الآن نقوم بحساب هذه القيمة:

$C(98, 96) = \frac{9506}{2}$

$C(98, 96) = 4753$

لذا، قيمة الجمعية $C(98, 96)$ هي 4753.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى فهم القوانين والمفاهيم الرياضية المستخدمة، وفي هذا السياق، سنستخدم مفهوم الجمعية ($C(n, k)$) والقوانين المتعلقة بها.

1. قانون الجمعية:
   $C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$

هذا القانون يُستخدم لحساب عدد الطرق التي يمكن بها اختيار k عناصر من مجموعة مكونة من n عنصر.

2. قانون العوامل:
   $n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \ldots \times 2 \times 1$

يُستخدم لحساب عامل التشغيل لعدد صحيح n.

3. إلغاء العوامل المتكررة:
   في بعض الحالات، يمكن إلغاء العوامل المشتركة في البسط والمقام لتبسيط العملية.

الآن، سنطبق هذه القوانين على المسألة المعطاة:

$C(98, 96) = \frac{98!}{96! \cdot 2!}$

نبدأ بحساب العوامل في البسط والمقام:

$98! = 98 \times 97 \times 96!$

$96! = 96 \times 95 \times 94 \times \ldots \times 2 \times 1$

$2! = 2 \times 1$

ثم نستخدم القانون للوصول إلى المعادلة النهائية:

$C(98, 96) = \frac{98 \times 97 \times 96!}{96! \times 2!}$

ونقوم بإلغاء العوامل المشتركة في البسط والمقام:

$C(98, 96) = \frac{98 \times 97}{2}$

وأخيرًا، نقوم بحساب هذه القيمة للوصول إلى الناتج النهائي:

$C(98, 96) = \frac{9506}{2}$

$C(98, 96) = 4753$

هذا هو الحل الشامل للمسألة باستخدام القوانين المذكورة أعلاه.