حساب الجمعيات الرياضية: تفاصيل وقوانين (مسألة رياضيات)

قيمة التعبير الرياضي $\binom{25}{2}$ تعبر عن عدد الطرق الممكنة لاختيار زوج من العناصر من مجموعة مكونة من 25 عنصرًا. يمكن حساب قيمة هذا التعبير باستخدام صيغة الجمعية الرياضية المعروفة:

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

حيث $n!$ تعبر عن عامل التجميع أو الضرب للعدد $n$، ويُعرف بأنه المنتج من جميع الأعداد الصحيحة الموجبة حتى $n$. في هذه الحالة، يكون $n = 25$ و $k = 2$.

$\binom{25}{2} = \frac{25!}{2!(25-2)!}$

لنقم بتفكيك العوامل في الصيغة:

$\binom{25}{2} = \frac{25 \times 24 \times 23 \times \ldots \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (23 \times 22 \times \ldots \times 3 \times 2 \times 1)}$

بعد تبسيط العوامل المشتركة، نحصل على:

$\binom{25}{2} = \frac{25 \times 24}{2 \times 1}$

وهنا يمكن إجراء الضرب والقسمة:

$\binom{25}{2} = \frac{600}{2}$

وبالتالي:

$\binom{25}{2} = 300$

إذاً، قيمة $\binom{25}{2}$ هي 300.

بالطبع، دعونا نقوم بتفصيل الحل وذكر القوانين المستخدمة في حل تلك المسألة.

قمنا بحساب قيمة $\binom{25}{2}$ باستخدام صيغة الجمعية الرياضية، والتي تُعبر عن عدد الطرق الممكنة لاختيار زوج من العناصر من مجموعة مكونة من 25 عنصرًا.

الصيغة المستخدمة هي:

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

حيث:

• $n!$ هو عامل التجميع أو الضرب للعدد $n$.
• $k!$ هو عامل التجميع أو الضرب للعدد $k$.
• $(n-k)!$ هو عامل التجميع أو الضرب للعدد $n-k$.

لحساب $\binom{25}{2}$، وضعنا قيم $n = 25$ و $k = 2$ في الصيغة:

$\binom{25}{2} = \frac{25!}{2!(25-2)!}$

ثم بدأنا في تفكيك العوامل في الصيغة، حيث يمثل $n!$ ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة حتى $n$. في هذه الحالة:

$25! = 25 \times 24 \times 23 \times \ldots \times 3 \times 2 \times 1$

ونفس الأمر ينطبق على $k!$ و $(n-k)!$.

ثم تم تبسيط العوامل المشتركة بين العددين والمختلفة بينهما، مما أدى إلى الصيغة المبسطة:

$\binom{25}{2} = \frac{25 \times 24}{2 \times 1}$

وأخيرًا، تم إجراء الضرب والقسمة للحصول على القيمة النهائية:

$\binom{25}{2} = 300$

قوانين الجمعية الرياضية والعواملية تُستخدم في هذا السياق لتسهيل حساب القيم الرياضية للتعابير المثلثية كهذه.