مسائل رياضيات

حساب الجمعيات الجزئية في الرياضيات. (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 02/02/2024
0

المسألة الرياضية:
“نريد حساب قيمة التالي: ما هو العدد المجموعات المكونة من 8 عنصر في مجموعة تحتوي على 10 عناصر؟”

الحل:
لحساب قيمة $\dbinom{10}{8}$ (والتي تعبر عن عدد الطرق الممكنة لاختيار مجموعة من 8 عناصر من مجموعة تحتوي على 10 عناصر)، يمكننا استخدام الصيغة التالية:

مواضيع ذات صلة
(nk)=n!k!(n−k)!\dbinom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

حيث:

  • $n!$ تعبر عن عامل التجميع للعدد $n$، أي ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة من 1 إلى $n$.
  • $k!$ تعبر عن عامل التجميع للعدد $k$.
  • $(n-k)!$ تعبر عن عامل التجميع للفارق بين $n$ و $k$.

لذا، لحساب $\dbinom{10}{8}$، نضع $n = 10$ و $k = 8$ في الصيغة:

(108)=10!8!(10−8)!\dbinom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!}
=10×9×8!8!×2!= \frac{10 \times 9 \times 8!}{8! \times 2!}
=10×92×1= \frac{10 \times 9}{2 \times 1}
=902= \frac{90}{2}
=45= 45

إذاً، قيمة $\dbinom{10}{8}$ هي 45.

المزيد من المعلومات

لحساب قيمة $\dbinom{10}{8}$ وفقًا للقوانين المستخدمة في الجبر المجرد والمثلثات المشابهة، نلجأ إلى القوانين التالية:

  1. قانون العامل القوى: يستخدم لتبسيط التعابير التي تحتوي على أسس.

  2. قانون العوامل المتقابلة: يُستخدم لإلغاء العوامل المتقابلة في القسمة.

  3. قانون الجمع والطرح: يسمح بتجميع العبارات المماثلة وطرحها أو جمعها مع بعض.

  4. قانون الطرح والجمع: يمكن استخدامه لتبديل ترتيب العبارات والعوامل دون تغيير الناتج.

  5. قانون الجمع الجماعي: يُسهل عملية جمع عدد من العناصر معًا دون الحاجة إلى إجراء العمليات بشكل فردي.

  6. قانون القوس الوسيط: يُسهل عملية التبسيط والتحليل الجبري للتعابير.

  7. قانون القسمة المتبادلة: يتيح تبسيط التعابير التي تحتوي على عوامل متقابلة في القسمة.

باستخدام هذه القوانين، نستطيع حل المسألة كما يلي:

نعرف أن $\dbinom{10}{8}$ يعبر عن عدد الطرق الممكنة لاختيار مجموعة من 8 عناصر من مجموعة تحتوي على 10 عناصر. يمكن حساب قيمة هذا التعبير باستخدام الصيغة:

(nk)=n!k!(n−k)!\dbinom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

حيث $n$ هو عدد العناصر الكلي و $k$ هو عدد العناصر التي نريد اختيارها.

بالتطبيق في هذه المسألة:

  • $n = 10$ لأن لدينا مجموعة تحتوي على 10 عناصر.
  • $k = 8$ لأننا نريد اختيار 8 عناصر من هذه المجموعة.

نقوم بتعويض القيم في الصيغة:

(108)=10!8!(10−8)!\dbinom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!}

الآن نبدأ في حساب العوامل:

  • $10! = 10 \times 9 \times 8!$.
  • $8!$ يُلغى من البسط والمقام.
  • $(10-8)! = 2! = 2$.

نحسب الناتج النهائي:

(108)=10×92×1=902=45\dbinom{10}{8} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = \frac{90}{2} = 45

لذا، قيمة $\dbinom{10}{8}$ هي 45.

تمثل هذه القوانين أساس الجبر والتحليل الرياضي وتستخدم في العديد من السياقات الرياضية لحل المسائل وتبسيط التعابير الرياضية.

اخر تحديث 02/02/2024
0