حساب التعبير الجذري بالخطوات (مسألة رياضيات)

نريد حساب القيمة التقريبية للتعبير التالي:
$\frac{\sqrt{338}}{\sqrt{288}}+\frac{\sqrt{150}}{\sqrt{96}}.$

لحساب هذا التعبير، نستخدم خاصية جذر النسبة المربعة، حيث أن $\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}.$

لنبدأ بتبسيط الجذر في المقام الأول (البارامتر السفلي) من الكسر الأول:
$\sqrt{288} = \sqrt{144 \times 2} = \sqrt{144} \times \sqrt{2} = 12\sqrt{2}.$

الآن يمكننا استخدام هذه القيمة في الكسر الأول:
$\frac{\sqrt{338}}{\sqrt{288}} = \frac{\sqrt{338}}{12\sqrt{2}}.$

من ثم يمكننا ضرب البسط والمقام في كل جزء من الكسر بتوزيع الجذور:
$\frac{\sqrt{338}}{12\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{676}}{12}.$

الآن يمكننا تبسيط الجذر:
$\frac{\sqrt{676}}{12} = \frac{26}{12} = \frac{13}{6}.$

الآن ننتقل إلى الكسر الثاني:
$\frac{\sqrt{150}}{\sqrt{96}}.$

نبدأ بتبسيط الجذر في المقام الثاني:
$\sqrt{96} = \sqrt{16 \times 6} = \sqrt{16} \times \sqrt{6} = 4\sqrt{6}.$

الآن يمكننا استخدام هذه القيمة في الكسر الثاني:
$\frac{\sqrt{150}}{\sqrt{96}} = \frac{\sqrt{150}}{4\sqrt{6}}.$

من ثم يمكننا ضرب البسط والمقام في كل جزء من الكسر بتوزيع الجذور:
$\frac{\sqrt{150}}{4\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{900}}{24}.$

الآن يمكننا تبسيط الجذر:
$\frac{\sqrt{900}}{24} = \frac{30}{24} = \frac{5}{4}.$

الآن نقوم بجمع النتيجتين:
$\frac{13}{6} + \frac{5}{4}.$

لجعل المقامين متساويين، نقوم بضرب الكسر الأول في 2 والكسر الثاني في 3:
$\frac{13}{6} \times \frac{2}{2} + \frac{5}{4} \times \frac{3}{3} = \frac{26}{12} + \frac{15}{12}.$

الآن يمكننا جمع البسط:
$\frac{26}{12} + \frac{15}{12} = \frac{41}{12}.$

إذاً، القيمة المطلوبة للتعبير هي $\frac{41}{12}.$

بالطبع، دعونا نقوم بحساب التعبير $\frac{\sqrt{338}}{\sqrt{288}} + \frac{\sqrt{150}}{\sqrt{96}}$ بتفصيل أكثر ونستخدم القوانين المناسبة.

لنحسب الكسر الأول: $\frac{\sqrt{338}}{\sqrt{288}}$

1. تبسيط المقام (البارامتر السفلي):
   $\sqrt{288} = \sqrt{144 \times 2} = \sqrt{144} \times \sqrt{2} = 12\sqrt{2}.$

   إذاً، الكسر يصبح: $\frac{\sqrt{338}}{12\sqrt{2}}$

2. توسيع الجذر في البسط والمقام باستخدام قاعدة $\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}$:
   $\frac{\sqrt{338}}{12\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{676}}{12}.$

3. تبسيط الجذر:
   $\frac{\sqrt{676}}{12} = \frac{26}{12} = \frac{13}{6}.$

الآن لنحسب الكسر الثاني: $\frac{\sqrt{150}}{\sqrt{96}}$

1. تبسيط المقام (البارامتر السفلي):
   $\sqrt{96} = \sqrt{16 \times 6} = \sqrt{16} \times \sqrt{6} = 4\sqrt{6}.$

   إذاً، الكسر يصبح: $\frac{\sqrt{150}}{4\sqrt{6}}$

2. توسيع الجذر في البسط والمقام باستخدام قاعدة $\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}$:
   $\frac{\sqrt{150}}{4\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{900}}{24}.$

3. تبسيط الجذر:
   $\frac{\sqrt{900}}{24} = \frac{30}{24} = \frac{5}{4}.$

الآن لدينا الكسرين المبسطين: $\frac{13}{6}$ و $\frac{5}{4}$.

الخطوة الأخيرة هي جمع الكسرين:
$\frac{13}{6} + \frac{5}{4}.$

لجعل المقامين متساويين، نقوم بضرب الكسر الأول في 2 والكسر الثاني في 3:
$\frac{13}{6} \times \frac{2}{2} + \frac{5}{4} \times \frac{3}{3} = \frac{26}{12} + \frac{15}{12}.$

الآن يمكننا جمع البسط:
$\frac{26}{12} + \frac{15}{12} = \frac{41}{12}.$

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة $\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}$: لتوسيع الجذر في البسط والمقام.
2. ضرب في وحدة (1) باستخدام $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ و $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$: لتبسيط الكسور وجعل المقامين متساويين.
3. جمع الكسور: لجمع النتائج النهائية.

إن هذه الخطوات تظهر كيف يمكن تطبيق القوانين الجبرية وخوارزميات حسابية لتبسيط التعبير والوصول إلى الإجابة النهائية.