مسائل رياضيات

حساب التجميع الثنائي: مثال عملي (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 08/02/2024
0

نريد حساب قيمة التجميع الثنائي (المثاني) للعدد 7 فوق 4، والتي تُمثّل عدد الطرق التي يمكننا من خلالها اختيار مجموعة مؤلفة من 4 عناصر من مجموعة تحتوي على 7 عناصر.

باستخدام الصيغة الرياضية لتجميعات العدد الثنائي، فإننا نعرف أنها تحسب بالصيغة التالية:

مواضيع ذات صلة
(nk)=n!k!(n−k)!\dbinom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n – k)!}

حيث أن “!” تمثل عامل القوى (عامل التجميع)، ويُستخدم لتمثيل عملية الضرب التسلسلية من العدد الذي يُكتب قبله وحتى الواحد.

بالتالي، لحساب قيمة $\dbinom{7}{4}$، نقوم بتطبيق الصيغة التالية:

(74)=7!4!(7−4)!\dbinom{7}{4} = \frac{7!}{4! (7 – 4)!}

الآن، يمكننا بدء حساب القيمة باستخدام القواعد الأساسية للضرب والقسمة. سنقوم بحساب قيمة كل عامل من عوامل القسمة في الصيغة.

أولاً، سنحسب العوامل الموجودة في العدد 7!:

7!=7×6×5×4×3×2×1=50407! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040

ثانيًا، سنحسب العوامل الموجودة في العدد 4!:

4!=4×3×2×1=244! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24

ثالثًا، سنحسب العوامل الموجودة في العدد (7 – 4)!، أي 3!:

3!=3×2×1=63! = 3 \times 2 \times 1 = 6

الآن، لنقوم بتجميع القيم:

(74)=7!4!(7−4)!=504024×6\dbinom{7}{4} = \frac{7!}{4! (7 – 4)!} = \frac{5040}{24 \times 6}

الآن، سنقوم بحساب القيمة النهائية عن طريق القسمة:

504024×6=5040144=35\frac{5040}{24 \times 6} = \frac{5040}{144} = 35

لذا، قيمة $\dbinom{7}{4}$ هي 35.

المزيد من المعلومات

لحل مسألة حساب قيمة $\dbinom{7}{4}$ (أو “7 فوق 4”)، نستخدم مفهوم التجميع الثنائي (المثاني) والعوامليّة، والتي تعتمد على بعض القوانين الأساسية في الجبر العددي والتحليل المركب. هذه القوانين تشمل:

  1. قانون الجمع والطرح: يتيح لنا قانون الجمع والطرح إجراء عمليات الجمع والطرح بين الأعداد.
  2. قانون الضرب والقسمة: يسمح لنا بإجراء عمليات الضرب والقسمة بين الأعداد.
  3. قانون التجميع الثنائي (المثاني): يمثل عدد الطرق التي يمكن بها اختيار مجموعة مؤلفة من kk عناصر من مجموعة تحتوي على nn عنصر بالصيغة:
(nk)=n!k!(n−k)!\dbinom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n – k)!}

حيث أن n!n! تُمثل عامل القوى (عامل التجميع) للعدد nn، و k!k! تُمثل عامل القوى للعدد kk، و (n−k)!(n – k)! تُمثل عامل القوى للفارق بين nn و kk، وهو عدد العناصر المتبقية بعد اختيار kk عنصرًا.

الآن، بعد فهم القوانين، يمكننا البدء في حل المسألة. نستخدم صيغة التجميع الثنائي كما هو موضح أعلاه:

(74)=7!4!(7−4)!\dbinom{7}{4} = \frac{7!}{4! (7 – 4)!}

حيث 7!7! هو إجمالي الطرق الممكنة لاختيار 7 عناصر، و 4!4! هو عدد الطرق الممكنة لاختيار 4 عناصر، و (7−4)!(7 – 4)! هو عدد الطرق الممكنة للاختيار من العناصر المتبقية بعد اختيار 4.

بعد حساب القيم، نجد أن قيمة 7!=50407! = 5040، و 4!=244! = 24، و (7−4)!=3!=6(7 – 4)! = 3! = 6، وباستخدام العوامل، نحسب:

(74)=504024×6=35\dbinom{7}{4} = \frac{5040}{24 \times 6} = 35

لذا، قيمة (74)\dbinom{7}{4} هي 35، وهي تمثل عدد الطرق الممكنة لاختيار مجموعة من 4 عناصر من مجموعة تحتوي على 7 عناصر.

اخر تحديث 08/02/2024
0