حساب الباقي: مسألة القسمة والأعداد (مسألة رياضيات)

رقم عند القسمة على 281 يعطي باقيًا يبلغ 160، ما هو الباقي الذي سيتم الحصول عليه عند قسم نفس الرقم على 21؟

الحل:

لنقم أولاً بتعريف الرقم الذي سنقوم بقسمه على 281 بـ “س”، والذي يعبر عن الرقم الغير معروف الذي نريد حساب باقي قسمته.

نعبر عن العملية الحسابية بالمعادلة التالية:

س ÷ 281 = ص × 281 + 160

حيث “ص” يعبر عن ناتج القسمة الصحيحة والـ 160 هو الباقي الذي تم الحصول عليه.

الآن، لنقم بحساب قيمة “ص”، يمكننا ضرب 281 في أي عدد صحيح وإضافة 160 إليه حتى نحصل على قيمة قريبة لـ “س”. يمكننا اختيار أي قيمة صحيحة لتمثيل “ص”.

لنقم ببعض التجريبات:

عندما نجرب ص = 1:
281 × 1 + 160 = 441

لكن هذا لا يطابق القسمة الأصلية. لذا، نحتاج لاستكمال التجربة.

عندما نجرب ص = 2:
281 × 2 + 160 = 722

هذا يتناسب مع القسمة الأصلية، لأنه بالفعل أكبر من 281 والفارق بينه وبين 722 هو 160.

لذا، يمكننا القول أن “س” هو 722.

الآن، لحساب الباقي عند قسم “س” على 21، نقوم بالعملية التالية:

722 ÷ 21 = 34 والباقي 8.

إذاً، الباقي الذي سيتم الحصول عليه عند قسم نفس الرقم على 21 هو 8.

بالتأكيد، سنقوم بتوضيح التفاصيل أكثر في حل هذه المسألة وسنذكر القوانين المستخدمة.

المسألة تقول إن لدينا رقمًا (س) عند القسمة على 281 يعطي باقيًا 160. نريد معرفة الباقي الذي سينتج عند قسم نفس الرقم على 21.

لحل المسألة، نستخدم قاعدة القسمة وقاعدة باقي القسمة:

1. قاعدة القسمة:
   إذا كانت $a$ تقسم على $b$ بصورة صحيحة، فإن الناتج يمكن أن يكتب على شكل $a = bq + r$، حيث $q$ هو الناتج الصحيح و $r$ هو الباقي.

   في حالتنا:
   $س = 281ق + 160$

2. قاعدة باقي القسمة:
   إذا قسمنا عددًا على $n$ وحصلنا على باقي يساوي $r$، فإننا نستطيع كتابة هذا العدد على شكل $nق + r$.

   نريد حساب $س \mod 21$:
   $س = 21ق’ + r’$

الخطوات:

1. تعريف المعادلة:
   نعرف $س$ على أنه الرقم الذي نبحث عنه، ونستخدم المعادلة:
   $س = 281ق + 160$

2. اختيار قيمة لـ $ق$:
   نقوم باختيار قيم لـ $ق$ ونجربها في المعادلة. هنا استخدمنا $ق = 2$ لأنها أعطتنا ناتجا صحيحًا.

3. حساب القيمة المقابلة لـ $س$:
   قمنا بحساب $س$ باستخدام المعادلة:
   $س = 281 × 2 + 160 = 722$

4. كتابة المعادلة بشكل آخر:
   الآن، نريد كتابة $س$ بشكل آخر باستخدام القاعدة الثانية:
   $س = 21ق’ + r’$

5. حساب الباقي:
   قمنا بحساب القسمة: $722 ÷ 21 = 34$ والباقي هو $8$.

إذاً، الباقي الذي سيتم الحصول عليه عند قسم نفس الرقم على 21 هو 8.

القوانين المستخدمة:

• قاعدة القسمة:
  $س = 281ق + 160$
• قاعدة باقي القسمة:
  $س = 21ق’ + r’$

تمثل هذه القوانين الأساسية للعلاقة بين الأعداد والقسمة.