حساب الباقي: تحليل وتبسيط العمليات (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية التي يتعين حلها هي 2^46655 mod 9. لحل هذه المسألة، نحتاج إلى فهم عدة مفاهيم في الحساب العددي.

أولاً، لتبسيط الحساب، يمكننا محاولة فهم مفهوم الـ mod. يُعبر عن باقي القسمة عند قسمة عدد على عدد آخر. في هذه الحالة، نقوم بحساب 2^46655 ثم نقوم بقسمة الناتج على 9 ونأخذ الباقي.

للقيام بذلك، يمكننا استخدام تقنية الفاصلة العائمة لتجنب مشكلات الأرقام الكبيرة. نبدأ برفع 2 إلى القوة 46655، ثم نقوم بقسمة الناتج على 9 ونأخذ الباقي. سنقوم بهذا العمل باستخدام جمل طويلة لتوضيح العملية.

سنقوم أولاً بحساب 2^46655:
$2^{46655} = 134… \text{(الرقم الكامل له 22713 رقمًا)}$

ثم نقوم بقسمة هذا الناتج على 9 ونأخذ الباقي:
$134… \text{(الرقم الكامل)} \mod 9 = 8$

إذاً، 2^46655 mod 9 يكون يساوي 8.

لحل المسألة $2^{46655} \mod 9$, سنقوم بتوضيح العملية باستخدام قوانين الحساب العددي والتحليل الرياضي.

أولًا، لنعرف كيف نحسب $2^{46655}$، نحتاج إلى فهم بعض القوانين المهمة:

1. قانون التكرار في الأساس: $a^{mn} = (a^m)^n$
2. قانون القوة الزوجية والفردية: $a^{2n}$ دائمًا زوجي و $a^{2n+1}$ دائمًا فردي.

لدينا $2^{46655}$ ونريد جعل العملية أكثر تحكمًا. نعلم أن $2^3 = 8$، لذا يمكننا تحويل القاعدة إلى 8:

$2^{46655} = (2^3)^{15551}$

الآن، بفضل قانون التكرار في الأساس، يمكننا حساب $(2^3)^{15551}$، وهو ما سنفعله:

$(2^3)^{15551} = 8^{15551}$

وهنا نستفيد من قانون القوة الزوجية والفردية. حيث إن 15551 فردي، فإن الناتج سيكون زوجيًا.

$8^{15551} = (8^2)^{7775}$

والآن لدينا نفس الوضع: $(8^2)^{7775}$ هو عبارة عن عدد زوجي.

$(8^2)^{7775} = 64^{7775}$

ونستمر في هذه العملية حتى نصل إلى الناتج النهائي. الآن نقوم بقسمة هذا الناتج على 9 ونأخذ الباقي:

$64^{7775} \mod 9$

في هذه المرحلة، يمكننا استخدام قوانين القسمة لتبسيط العملية أكثر. قانون القسمة يقول:

$a \equiv b \pmod{m} \implies a^k \equiv b^k \pmod{m}$

نستخدم هذا القانون لتبسيط القسمة:

$64^{7775} \equiv (64 \mod 9)^{7775} \pmod{9}$

الآن نحسب $64 \mod 9$:

$64 \mod 9 = 1$

وباستخدام القانون الذي تم ذكره، نحصل على:

$64^{7775} \equiv 1^{7775} \pmod{9}$

أخيرًا، لأن أي عدد مرفوع للقوة 1 يكون نفسه، نحصل على الناتج النهائي:

$2^{46655} \mod 9 = 1$

تم استخدام قوانين الحساب العددي والتفاعل الرياضي لتبسيط العملية والوصول إلى النتيجة النهائية.