حساب الانحراف المعياري في الإحصاء (مسألة رياضيات)

تراجعت درجة امتحان معين إلى 58 وكانت تبتعد بمقدار اثنين من الانحرافات المعيارية عن المتوسط. بينما وصلت درجة أخرى إلى 98 وكانت تتجاوز المتوسط بمقدار ثلاثة انحرافات معيارية. ما هي قيمة الانحراف المعياري لهذا الامتحان؟

لنحل المسألة، دعونا نمثل المتوسط بالرمز $\mu$ والانحراف المعياري بالرمز $\sigma$. إذا كانت درجة الامتحان تبتعد بمقدار اثنين من الانحرافات المعيارية عن المتوسط (58 = $\mu – 2\sigma$)، وكانت الدرجة الأخرى تتجاوز المتوسط بمقدار ثلاثة انحرافات معيارية (98 = $\mu + 3\sigma$).

لنقم بحل النظام المعادلات:
$\mu – 2\sigma = 58$
$\mu + 3\sigma = 98$

نقوم بجمع المعادلتين للتخلص من المتوسط:
$2\mu + \sigma = 156$

الآن نستخدم المعادلة الأولى للحصول على قيمة $\mu$ ونستخدمها في المعادلة الثانية لحساب $\sigma$:
$\mu – 2\sigma = 58$
$(156 – \sigma) – 2\sigma = 58$
$156 – 3\sigma = 58$
$-3\sigma = -98$
$\sigma = 32$

إذا كانت قيمة الانحراف المعياري للامتحان هي 32.

بالطبع، دعونا نستكمل الحل ونستعرض القوانين المستخدمة في حل المسألة.

القوانين المستخدمة:

1. تعريف الانحراف المعياري ($\sigma$) والمتوسط ($\mu$):

   • الانحراف المعياري يقيس مدى تشتت البيانات حول المتوسط.
   • المتوسط يمثل قيمة المجموعة الإجمالية مقسومة على عدد العناصر.

2. العلاقة بين الدرجات والانحراف المعياري والمتوسط:

   • إذا كانت الدرجة $X$ تبتعد عن المتوسط بمقدار $k$ انحرافات معيارية، يمكن التعبير عن ذلك بالمعادلة: $X = \mu + k\sigma$ أو $X = \mu – k\sigma$ حسب اتجاه الانحراف.

3. حل النظام المعادلات:

   • يمكن استخدام نظام المعادلات لحساب قيم المتغيرات المجهولة (في هذه الحالة المتوسط والانحراف المعياري).

حل المسألة:
لنراجع الخطوات الأخيرة لحساب قيمة الانحراف المعياري ($\sigma$):

من المعادلة: $2\mu + \sigma = 156$، يمكن حساب قيمة المتوسط ($\mu$):
$2\mu + \sigma = 156$
$2\mu + 32 = 156$
$2\mu = 124$
$\mu = 62$

الآن نستخدم قيمة المتوسط في المعادلة الأخرى لحساب الانحراف المعياري ($\sigma$):
$\mu – 2\sigma = 58$
$62 – 2\sigma = 58$
$-2\sigma = -4$
$\sigma = 2$

إذا كانت قيمة الانحراف المعياري ($\sigma$) هي 2.

تم استخدام قوانين الاحتمالات والإحصاء والجبر الخطي في حل هذه المسألة، حيث تساهم هذه القوانين في تمثيل العلاقات بين المتغيرات وحل النظام المعادلات بطريقة دقيقة.