حساب الاختيار الثنائي: ( 8 2 ) \binom{8}{2} ( 2 8 ​ ) (مسألة رياضيات)

قيمة التناظرية (الاختيار) المنتظمة للعدد 8 فوق 2 هي ما يُمثل برموز الاختيار الثنائي بـ nCr، ويُعبَّر عنها بـ C(8, 2). لحساب هذه القيمة، نستخدم الصيغة التالية:

$C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

حيث n! (n factorial) تعني الضرب من 1 إلى n. في هذه الحالة، يكون الحساب كما يلي:

$C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!}$

يمكننا تبسيط هذه القيمة عبر حساب العوامل في البسط والمقام. على سبيل المثال:

$8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

$2! = 2 \times 1$

$(8-2)! = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

وباستبدال هذه القيم في الصيغة الأصلية، نحصل على:

$C(8, 2) = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)}$

الآن، يمكننا إلغاء العوامل المشتركة في البسط والمقام:

$C(8, 2) = \frac{8 \times 7}{2 \times 1}$

الضرب في البسط:

$C(8, 2) = \frac{56}{2}$

وبالتالي:

$C(8, 2) = 28$

إذا كانت القيمة المطلوبة لـ $\binom{8}{2}$ هي 28.

لحل مسألة $\binom{8}{2}$، يمكننا الاعتماد على فهم القوانين الرياضية التي تنطوي على الاختيارات والتناظريات. نقوم بحساب هذه القيمة باستخدام صيغة الاختيار الثنائي:

$C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

حيث:

• $n!$ هو الضرب التسلسلي للأعداد من 1 إلى n (عاملي الفاكتوريال).
• $r!$ هو الضرب التسلسلي للأعداد من 1 إلى r.
• $(n-r)!$ هو الضرب التسلسلي للأعداد من 1 إلى (n-r).

في حالتنا، نريد حساب $\binom{8}{2}$، والتي تكون تساوي:

$C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!}$

نقوم بحساب القيم الفردية في الفاكتوريال:

$8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$
$2! = 2 \times 1$
$(8-2)! = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

ونقوم بوضع هذه القيم في الصيغة:

$C(8, 2) = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)}$

نقوم بإلغاء العوامل المشتركة في البسط والمقام:

$C(8, 2) = \frac{8 \times 7}{2 \times 1}$

ونقوم بحساب هذه القيمة:

$C(8, 2) = \frac{56}{2}$

وبالتالي، نحصل على الإجابة النهائية:

$C(8, 2) = 28$

القوانين المستخدمة في هذا الحل تتضمن:

1. صيغة الاختيار الثنائي: تمثل الاختيارات الممكنة للاختيار r عنصر من بين n عناصر.
2. قانون الفاكتوريال: حيث يتم حساب الضرب التسلسلي للأعداد من 1 إلى n.
3. قوانين الجمع والطرح: استخدام الجمع والطرح لتبسيط العبارات الرياضية.