حساب الاحتماليات في المسائل الرياضية (مسألة رياضيات)

إذا كانت الاحتمالية أن يتحدث طفل ولد في مستشفى معين في اليوم التالي هي 1/4، وكانت الاحتمالية أن يتحدث على الأقل طفلين من مجموعة من X أطفال في اليوم التالي هي 128، فما قيمة المتغير المجهول X؟

لنقم بحل المسألة:

نحتاج إلى استخدام مفهوم الاحتماليات لحساب القيمة المطلوبة.

المعطيات:

• احتمالية أن يتحدث طفل ولد في المستشفى في اليوم التالي = 1/4.
• احتمالية أن لا يتحدث طفل ولد في المستشفى في اليوم التالي = 1 – 1/4 = 3/4.

نريد حساب الاحتمالية التي يتحدث فيها طفلين أو أكثر من المجموعة المكونة من X أطفال. لنقم بذلك باستخدام الاحتماليات:

نستخدم صيغة الاحتمالات المتعددة للحدث المعاكس:

الاحتمالية أن لا يتحدث أي طفل من المجموعة المكونة من X طفلا في اليوم التالي = (3/4)^X.

ومن ثم، الاحتمالية أن يتحدث طفل واحد أو لا يتحدث أي طفل من المجموعة المكونة من X أطفال = 1 – (3/4)^X.

ولكننا نريد الآن أن نجد الاحتمالية التي يتحدث فيها طفلين أو أكثر، وذلك بطريقة الاحتماليات المعاكسة مرة أخرى.

نقوم بحساب الاحتمالية التي يتحدث فيها طفلين أو أكثر من المجموعة المكونة من X أطفال:

الاحتمالية = 1 – (احتمالية أن يتحدث طفل واحد أو لا يتحدث أي طفل)^X.

ووفقًا للمعطيات، الاحتمالية = 128/100 = 1.28.

نضع الآن المعادلة:
1.28 = 1 – (3/4)^X.

نحل المعادلة للعثور على قيمة X.

(3/4)^X = 1 – 1.28
(3/4)^X = -0.28.

لكن هذا لا يمكن في الواقع، لأن القيمة اليمنى من المعادلة أقل من الصفر، والأعداد السالبة لا يمكن أن تكون أساسًا. لذا، ليس هناك حل حقيقي للمسألة كما هو مطلوب.

لحل المسألة، نحتاج إلى فهم بعض القوانين الأساسية في الاحتماليات والتي سنطبقها في هذا السياق:

1. قانون الاحتمالات المعاكسة (Complement Rule): يقول هذا القانون إن احتمالية حدوث حدث ما هو مساوية لـ 1 ناقص احتمالية عدم حدوثه.

2. قانون الاحتمالات المتعددة (Multiplication Rule): يستخدم هذا القانون لحساب احتمالية حدوث سلسلة من الأحداث المستقلة معًا.

3. الاحتمالات المستقلة (Independent Events): عندما لا يؤثر حدث واحد على احتمالية حدوث الحدث الآخر.

الآن، لنقم بتطبيق هذه القوانين في حل المسألة:

المعطيات:

• احتمالية أن يتحدث طفل ولد في المستشفى في اليوم التالي = 1/4.
• احتمالية أن لا يتحدث طفل ولد في المستشفى في اليوم التالي = 1 – 1/4 = 3/4.

نحتاج إلى حساب الاحتمالية التي يتحدث فيها طفلين أو أكثر من المجموعة المكونة من X أطفال. لنقم بذلك باستخدام الاحتماليات:

لنفترض أن الاحتمالية المطلوبة هي P(X). نستخدم الاحتمالات المعاكسة للوصول إلى هذه القيمة.

1. الاحتمالية أن لا يتحدث أي طفل من المجموعة المكونة من X طفلا في اليوم التالي = (3/4)^X.

2. الاحتمالية أن يتحدث طفل واحد أو لا يتحدث أي طفل من المجموعة المكونة من X أطفال = 1 – (3/4)^X.

3. لكننا نريد الآن أن نجد الاحتمالية التي يتحدث فيها طفلين أو أكثر، وذلك بطريقة الاحتماليات المعاكسة مرة أخرى.

4. نقوم بحساب الاحتمالية التي يتحدث فيها طفلين أو أكثر من المجموعة المكونة من X أطفال:
   P(X) = 1 – (احتمالية أن يتحدث طفل واحد أو لا يتحدث أي طفل)^X.

ووفقًا للمعطيات، الاحتمالية = 128/100 = 1.28.

نقوم بوضع المعادلة:
1.28 = 1 – (3/4)^X.

نحل المعادلة للعثور على قيمة X.

ومن هنا، نلاحظ أن المعادلة غير قابلة للحل بطريقة تقليدية، حيث أن القيمة اليمنى من المعادلة أقل من الصفر، وهو أمر غير ممكن في السياق الحقيقي للمسألة.

لذا، ليس هناك حل حقيقي للمسألة كما هو مطلوب.