حساب الإنتاج اليومي: حلاً لمشكلة المتوسط (مسألة رياضيات)

لمدة الأيام n الأخيرة، كان المتوسط اليومي (المتوسط الحسابي) لإنتاج الشركة 50 وحدة. إذا كان إنتاج اليوم الحالي هو 110 وحدة، مما أدى إلى رفع المتوسط إلى 55 وحدة في اليوم، فما هو قيمة n؟

الحل:
لحساب المتوسط، يمكننا استخدام العلاقة التالية:

المتوسط = مجموع القيم / عددها

في هذه الحالة، يمكننا كتابة المعادلة كالتالي:

55 = (مجموع الإنتاج لمدة n يوم + 110) / (n + 1)

لأننا نعلم أن المتوسط الأصلي لمدة n يوم كان 50 وحدة، يمكننا كتابة المعادلة الثانية كالتالي:

50 = (مجموع الإنتاج لمدة n يوم) / n

الآن، لحساب قيمة n، يمكننا حل المعادلتين المذكورتين. دعونا نبدأ بحل المعادلة الثانية:

50n = مجموع الإنتاج لمدة n يوم

ثم، نحسب مجموع الإنتاج لمدة n يوم باستخدام المعادلة الأولى:

55(n + 1) = مجموع الإنتاج لمدة n يوم + 110

الآن، نقوم بوضع قيمة مجموع الإنتاج لمدة n يوم من المعادلة الأولى في المعادلة الثانية:

50n = 55(n + 1) – 110

نحسب القيم:

50n = 55n + 55 – 110

-5n = -55

n = 11

إذاً، قيمة n هي 11.

بالطبع، دعونا نقوم بحل المسألة بشكل أكثر تفصيلاً ونذكر القوانين المستخدمة في الحل.

نبدأ بتعريف المتوسط الحسابي وكيفية حسابه. المتوسط الحسابي يُحسب عن طريق جمع جميع القيم وتقسيمها على عددها. لدينا متوسط الإنتاج:

$\text{المتوسط} = \frac{\text{مجموع الإنتاج}}{\text{عدد الأيام}}$

ونعلم أن المتوسط الأولي لمدة $n$ يوم كان 50 وحدة، لذا يمكن كتابة المعادلة:

$50 = \frac{\text{مجموع الإنتاج لمدة } n \text{ يوم}}{n}$

نضرب الطرفين في $n$ للتخلص من المقام:

$50n = \text{مجموع الإنتاج لمدة } n \text{ يوم}$

الآن، بعد يوم إنتاج إضافي بمقدار 110 وحدة، أصبح المتوسط 55 وحدة:

$55 = \frac{\text{مجموع الإنتاج لمدة } n \text{ يوم} + 110}{n + 1}$

نضرب الطرفين في $n + 1$ للتخلص من المقام:

$55(n + 1) = \text{مجموع الإنتاج لمدة } n \text{ يوم} + 110$

نستخدم الآن المعادلة الأولى لتعويض مجموع الإنتاج:

$50n = 55(n + 1) – 110$

نحل المعادلة للعثور على قيمة $n$:

$50n = 55n + 55 – 110$

$-5n = -55$

$n = 11$

تم استخدام القوانين التالية:

1. قانون المتوسط الحسابي: المتوسط هو مجموع القيم مقسومًا على عددها.
2. قوانين الجمع والطرح: لجمع وطرح الأعداد في المعادلات.
3. ضرب الطرفين في عدد: للتخلص من المقام وتبسيط المعادلات.
4. التعويض: استخدام قيمة معروفة في معادلة أخرى للعثور على القيمة المجهولة.