حساب الإحداثيات الكروية وحلا للمسألة (مسألة رياضيات)

لنقوم بتحويل النقطة $(2\sqrt{3}, X, -4)$ من إحداثياتها المستطيلة إلى إحداثياتها الكروية. إحداثيات الكرة تتمثل في $(\rho, \theta, \phi)$ حيث $\rho$ هو الشعاع الشمي, $\theta$ هو الزاوية الأفقية، و$\phi$ هو الزاوية العمودية.

الشعاع $\rho$ يمكن العثور عليه باستخدام العلاقة:

$\rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

في هذه الحالة:

$\rho = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + X^2 + (-4)^2}$

$\rho = \sqrt{12 + X^2 + 16}$

$\rho = \sqrt{X^2 + 28}$

الزاوية الأفقية $\theta$ تحسب باستخدام التالي:

$\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$

في هذه الحالة:

$\theta = \arctan\left(\frac{X}{2\sqrt{3}}\right)$

الزاوية العمودية $\phi$ تحسب باستخدام التالي:

$\phi = \arccos\left(\frac{z}{\rho}\right)$

في هذه الحالة:

$\phi = \arccos\left(\frac{-4}{\sqrt{X^2 + 28}}\right)$

الآن، إذا كنا نعلم أن الإحداثيات الكروية المطلوبة هي $(8, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3})$، يمكننا تحديد قيمة $X$ عند هذه النقطة.

من المعلومات المعطاة:

$\rho = 8$

$\theta = \frac{\pi}{3}$

$\phi = \frac{2\pi}{3}$

نقوم بتعويض هذه القيم في المعادلات المتعلقة بالشعاع والزوايا:

$\sqrt{X^2 + 28} = 8$

$\arctan\left(\frac{X}{2\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{3}$

$\arccos\left(\frac{-4}{\sqrt{X^2 + 28}}\right) = \frac{2\pi}{3}$

الآن، يتعين علينا حل هذه المعادلات للعثور على قيمة $X.$ يمكننا حل هذه المعادلات بالترتيب للحصول على القيمة المطلوبة.

نبدأ بحساب قيمة $X$ من المعادلة الأولى:

$\sqrt{X^2 + 28} = 8$

نربع الطرفين:

$X^2 + 28 = 64$

ثم نطرح 28 من الطرفين:

$X^2 = 36$

وبالتالي:

$X = \pm 6$

الآن، نتجه إلى المعادلة الثانية:

$\arctan\left(\frac{X}{2\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{3}$

نستخدم الجيب والكوساين للتخلص من التمامين:

$\frac{X}{2\sqrt{3}} = \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$

نضرب في $2\sqrt{3}$:

$X = 6$

لذلك، قيمة $X$ هي 6.

أخيرًا، ننتقل إلى المعادلة الثالثة:

$\arccos\left(\frac{-4}{\sqrt{X^2 + 28}}\right) = \frac{2\pi}{3}$

نستخدم القيمة المحسوبة لـ $X$:

$\arccos\left(\frac{-4}{\sqrt{36 + 28}}\right) = \frac{2\pi}{3}$

$\arccos\left(\frac{-4}{\sqrt{64}}\right) = \frac{2\pi}{3}$

$\arccos\left(\frac{-4}{8}\right) = \frac{2\pi}{3}$

$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$

وباستخدام قيمة الزاوية المعروفة:

$\frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$

تمامًا، إذًا تم حل المسألة وقيمة $X$ هي 6.

سأقوم بتوضيح التفاصيل الإضافية لحل المسألة وسأشرح القوانين والعلاقات المستخدمة.

لنحسب القيمة الأولى لـ $X$ من المعادلة:

$\sqrt{X^2 + 28} = 8$

نربع الطرفين:

$X^2 + 28 = 64$

ثم نطرح 28 من الطرفين:

$X^2 = 36$

نستخدم جذرين مربعين للتخلص من التمامين:

$X = \pm 6$

هذه هي القيمتين الممكنة لـ $X.$ الآن، نقوم بحساب القيمة الحقيقية باستخدام المعلومات الإضافية المتوفرة. في المعادلة الثانية:

$\arctan\left(\frac{X}{2\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{3}$

نستخدم القاعدة الأساسية للظواهر التناظرية:

$\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$

ونعلم أيضًا أن:

$\frac{X}{2\sqrt{3}} = \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)$

نحسب:

$X = 2\sqrt{3} \cdot \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = 6$

وهذه هي القيمة الحقيقية لـ $X.$

أخيرًا، ننتقل إلى المعادلة الثالثة:

$\arccos\left(\frac{-4}{\sqrt{X^2 + 28}}\right) = \frac{2\pi}{3}$

نستخدم العلاقة بين الكوساين والجيب:

$\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$

ونعلم أن:

$\frac{-4}{\sqrt{X^2 + 28}} = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$

نقوم بحساب:

$\sqrt{X^2 + 28} = \frac{-4}{\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)} = 8$

ومن ثم:

$\arccos\left(\frac{-4}{8}\right) = \frac{2\pi}{3}$

وباستخدام الجيب والكوساين، نحسب الزاوية المطلوبة.

لحل هذه المسألة، استخدمنا العديد من القوانين والعلاقات الرياضية، بما في ذلك:

1. قانون الجذر الرباعي: $\rho = \sqrt{X^2 + 28}$.
2. قانون الظاهرة التناظرية: $\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$.
3. علاقة الكوساين والجيب: $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$.

تمثل هذه القوانين الأساسية العلاقات الرياضية التي تم استخدامها لحل المسألة.