حساب الأعداد الزائدة: تحديد X (مسألة رياضيات)

لنعرف أن العدد الزائد هو عدد صحيح إيجابي، مجموع عوامله الصحيحة المختلفة أكبر من العدد نفسه. العوامل الصحيحة لعدد هي جميع الأعداد الصحيحة التي يمكن ضربها للحصول على العدد المعطى.

لنقم بحل المسألة:
لنبدأ بحساب عوامل العدد ومن ثم حساب مجموع العوامل الصحيحة المختلفة لكل عدد أقل من $X$.

من ثم نقوم بمقارنة مجموع العوامل الصحيحة مع العدد نفسه لتحديد ما إذا كان العدد زائدًا أم لا.

لنقم بكتابة الحل:

لنقوم بحساب عوامل كل عدد أقل من $X$ وحساب مجموعها الصحيحة.

لنفترض أن العدد الذي نبحث عنه هو $N$، فنقوم بحساب مجموع العوامل الصحيحة له كالتالي:

حيث $d_2, d_3, \ldots, d_k$ هي العوامل الصحيحة المختلفة للعدد $N$.

إذا كان $\sigma(N) > N$، فإن $N$ عدد زائد.

نبدأ بتحديد قيمة $X$:
لنفترض أن $X$ هو أصغر عدد زائد بحيث يكون هناك 4 أعداد زائدة أقل منه.

لحل هذا، نقوم بتجربة الأعداد بدءًا من 12، لأن العدد 12 هو أصغر عدد زائد. ونتواصل في الزيادة حتى نجد 4 أعداد زائدة.

سنقوم بعملية الاختبار على الأعداد 12، 13، 14، 15، وهكذا، حتى نجد العدد الذي يحقق المطلوب.

أولاً، لنحسب العوامل الصحيحة لكل عدد ونحسب مجموعها:

• للعدد 12: عوامله الصحيحة هي 1، 2، 3، 4، 6، الجمع بينهم يساوي 16.
• للعدد 13: العوامل الصحيحة هي 1، الجمع يساوي 1.
• للعدد 14: العوامل الصحيحة هي 1، 2، 7، الجمع يساوي 10.
• للعدد 15: العوامل الصحيحة هي 1، 3، 5، الجمع يساوي 9.

من هذه الأعداد، نجد أن الأعداد 12 و 14 و 15 هي أعداد زائدة.

لكن، هناك عدد أكبر من 15، يجب التحقق مما إذا كان أيضًا عدد زائد.

نقوم بتكرار نفس العملية للأعداد الأكبر من 15 حتى نجد 4 أعداد زائدة.

الآن، بعد الاختبار، نجد أن الأعداد الأربعة التالية هي أعداد زائدة: 12، 18، 20، و 24.

وبالتالي، القيمة المطلوبة لـ $X$ هي 25.

لحل المسألة وتحديد الأعداد الزائدة (Abundant numbers) وتحديد قيمة $X$، نحتاج إلى اتباع خطوات محددة واستخدام بعض القوانين الرياضية. القوانين والخطوات التي سنستخدمها تشمل:

1. حساب العوامل الصحيحة (proper factors) للأعداد.
2. حساب مجموع العوامل الصحيحة لكل عدد.
3. تحديد ما إذا كان مجموع العوامل الصحيحة أكبر من العدد نفسه لتحديد الأعداد الزائدة.

الآن، سنتبع هذه الخطوات بتفصيل:

1. حساب العوامل الصحيحة:
   للعدد $N$، نحتاج إلى حساب جميع الأعداد الصحيحة التي تقبل القسمة عليه بدون بقايا باستثناء العدد نفسه. هذه هي العوامل الصحيحة للعدد $N$.

2. حساب مجموع العوامل الصحيحة:
   بمجرد حساب العوامل الصحيحة، نقوم بجمعها معًا للحصول على مجموع العوامل الصحيحة للعدد $N$.

3. تحديد الأعداد الزائدة:
   بمجرد حساب مجموع العوامل الصحيحة، نقارنه بالعدد نفسه. إذا كان مجموع العوامل الصحيحة أكبر من العدد نفسه، فإن العدد هو زائد.

بعد أن نفهم القوانين والخطوات، نقوم بتطبيقها على المسألة التي ذكرتها في السؤال:

لنفترض أن $X$ هو العدد الذي نبحث عنه. نريد أن نعرف كم عدد زائد أقل من $X$.

لحساب هذا، نقوم باتباع الخطوات المذكورة أعلاه لتحديد الأعداد الزائدة ومن ثم عددها.

إذا كان عدد الأعداد الزائدة تحت $X$ هو 4، فإن $X$ هو العدد الذي يأتي بعد آخر عدد زائد والذي يكون عدد الأعداد الزائدة أقل منه 4.

لذا، نقوم بتجربة الأعداد بدءًا من 12 (أصغر عدد زائد) ونزيد التدريجي لحين نجد 4 أعداد زائدة. بعد ذلك، سنعرف قيمة $X$.

تحديد الأعداد الزائدة وتحديد $X$ يتطلب استمرار تجربة الأعداد وحساب العوامل الصحيحة لكل عدد حتى نصل إلى الحل الصحيح الذي يحقق الشرط المطلوب.