حساب الأسيمبتوت: دالة كسرية وحلول الجذور (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي تحديد إحداثيات النقطة التي تتقاطع فيها الأسيمبتوت للرسم البياني للدالة $y = \frac{x^2 – 4x + 3}{x^2 – 4x + 4}$.

لحل هذه المسألة، نبدأ بحساب الأسيمبتوت. الأسيمبتوت للدالة هي الخطوط التي لا تقاطع الرسم البياني للدالة ولكن تقترب منه. في هذه الحالة، الدالة لها أسيمبتوتين أفقيتين واحدة عند $x = 2$ والأخرى عند $x = 2$.

الآن، لحساب نقطة التقاطع بين هاتين الأسيمبتوتين، نقوم بتعيين $x$ بقيمة مشتركة للأسيمبتوتين. في هذه الحالة، نستخدم $x = 2$، حيث تكون الأسيمبتوتتين متلاصقتين.

نقوم بتعيين $x$ بقيمته، ونحسب القيمة المتوافقة لـ $y$ باستخدام الدالة:
$y = \frac{x^2 – 4x + 3}{x^2 – 4x + 4}$

عند $x = 2$:
$y = \frac{2^2 – 4 \times 2 + 3}{2^2 – 4 \times 2 + 4}$
$y = \frac{4 – 8 + 3}{4 – 8 + 4}$
$y = \frac{-1}{0}$

يظهر أن القيمة في المقام هي صفر، ولكن لا يمكن قسم عدد على صفر. لذلك، نقول أن هذه النقطة تمثل نقطة انطلاق للأسيمبتوت وليس نقطة تقاطع.

باختصار، الأسيمبتوتين لهذه الدالة تتلاصق عند $x = 2$، ولكن لا يوجد تقاطع فعلي بينهما في الرسم البياني للدالة.

لحل المسألة، سنقوم بتحليل الدالة وحساب الأسيمبتوت. الدالة المعطاة هي:

$y = \frac{x^2 – 4x + 3}{x^2 – 4x + 4}$

نبدأ بحساب قيمة $x$ التي تجعل المقام يساوي صفرًا، حيث يكون المقام هو $x^2 – 4x + 4 = 0$. يمكننا حل هذه المعادلة بالتمام باستخدام القاعدة العامة لحساب الجذور التربيعية.

القاعدة العامة لحساب الجذور التربيعية لمعادلة $ax^2 + bx + c = 0$ هي:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

في هذه الحالة، $a = 1$، $b = -4$، و $c = 4$. نستخدم القاعدة العامة للحساب:

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 – 4(1)(4)}}{2(1)}$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 – 16}}{2}$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{0}}{2}$
$x = \frac{4}{2}$

نحصل على قيمة واحدة لـ $x$ وهي $x = 2$. هذه هي قيمة $x$ التي تجعل المقام في الدالة يساوي صفر.

الآن، نقوم بحساب القيمة المتوافقة لـ $y$ باستخدام الدالة الأصلية عند $x = 2$:

$y = \frac{2^2 – 4(2) + 3}{2^2 – 4(2) + 4}$
$y = \frac{4 – 8 + 3}{4 – 8 + 4}$
$y = \frac{-1}{0}$

في هذه الحالة، المقام يساوي صفر، مما يجعل الناتج غير معرف. وهذا يشير إلى أن هناك نقطة حيث يكون الرسم البياني يقترب إلى الأسيمبتوت، ولكن لا توجد نقطة تقاطع فعلي.

القانون المستخدم في هذا الحل هو قاعدة حساب الجذور التربيعية وقوانين الكسور.