حساب ارتفاع المخروط المشكل من ورقة دائرية (مسألة رياضيات)

ورقة دائرية بنصف قطر يبلغ 6 سم تم قطعها إلى ثلاثة قطاعات متطابقة. ما هو ارتفاع المخروط بالسنتيمتر الذي يمكن إنشاؤه عند لف إحدى الأقسام حتى تلتقي الحواف؟ قدم إجابتك بأبسط صورة جذرية.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى حساب مساحة القطاع الدائري ثم استخدام هذه المساحة لحساب حجم المخروط.

نعلم أن مساحة القطاع الدائري تُحسب بالصيغة:

$A_{\text{قطاع}} = \frac{n}{360} \times \pi r^2$

حيث $n$ هو زاوية القطاع (في هذه الحالة 360 درجة لأنه قد قطعت الدائرة إلى ثلاثة أقسام متطابقة)، و $r$ هو نصف قطر الدائرة (في هذه الحالة 6 سم).

$A_{\text{قطاع}} = \frac{3}{360} \times \pi \times (6)^2$

$A_{\text{قطاع}} = \frac{1}{120} \times 36\pi$

$A_{\text{قطاع}} = \frac{3}{5} \pi$

الآن، لنحسب طول القوس المقابل لهذا القطاع. يمكننا استخدام الصيغة:

$\text{طول القوس} = \frac{n}{360} \times 2\pi r$

$\text{طول القوس} = \frac{3}{360} \times 2\pi \times 6$

$\text{طول القوس} = \frac{1}{60} \times 12\pi$

$\text{طول القوس} = \frac{1}{5} \pi$

الآن، نعلم أن هذا الطول يمثل محيط القاعدة الدائرية للمخروط. وحيث أن المخروط مكون من ثلاثة أقسام، يمكننا حساب نصف قطر القاعدة كالتالي:

$\text{نصف قطر القاعدة} = \frac{\text{طول القوس}}{2\pi}$

$\text{نصف قطر القاعدة} = \frac{\frac{1}{5}\pi}{2\pi}$

$\text{نصف قطر القاعدة} = \frac{1}{10}$

الآن، يمكننا حساب حجم المخروط باستخدام الصيغة:

$V_{\text{مخروط}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

$V_{\text{مخروط}} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{1}{10}\right)^2 \times \frac{1}{5} \pi$

$V_{\text{مخروط}} = \frac{1}{150} \pi^2$

إذاً، ارتفاع المخروط هو $\frac{1}{150} \pi^2$ سم.

بالطبع، دعنا نستكمل تفاصيل الحل ونشرح القوانين التي تم استخدامها.

المسألة:
ورقة دائرية بنصف قطر يبلغ 6 سم تم قطعها إلى ثلاثة قطاعات متطابقة. ما هو ارتفاع المخروط بالسنتيمتر الذي يمكن إنشاؤه عند لف إحدى الأقسام حتى تلتقي الحواف؟ قدم إجابتك بأبسط صورة جذرية.

الحل:
لحل هذه المسألة، نحتاج إلى عدة خطوات ونستخدم عدة قوانين رياضية.

الخطوة 1: حساب مساحة القطاع الدائري:
نستخدم القانون التالي لحساب مساحة القطاع:

$A_{\text{قطاع}} = \frac{n}{360} \times \pi r^2$

حيث $n$ هو زاوية القطاع، و $r$ هو نصف قطر الدائرة.

في هذه الحالة:

$A_{\text{قطاع}} = \frac{3}{360} \times \pi \times (6)^2$

$A_{\text{قطاع}} = \frac{1}{120} \times 36\pi$

$A_{\text{قطاع}} = \frac{3}{5} \pi$

الخطوة 2: حساب طول القوس:
نستخدم القانون التالي لحساب طول القوس المقابل للقطاع:

$\text{طول القوس} = \frac{n}{360} \times 2\pi r$

في هذه الحالة:

$\text{طول القوس} = \frac{3}{360} \times 2\pi \times 6$

$\text{طول القوس} = \frac{1}{60} \times 12\pi$

$\text{طول القوس} = \frac{1}{5} \pi$

الخطوة 3: حساب نصف قطر القاعدة:
نستخدم القانون التالي لحساب نصف قطر القاعدة:

$\text{نصف قطر القاعدة} = \frac{\text{طول القوس}}{2\pi}$

في هذه الحالة:

$\text{نصف قطر القاعدة} = \frac{\frac{1}{5}\pi}{2\pi}$

$\text{نصف قطر القاعدة} = \frac{1}{10}$

الخطوة 4: حساب حجم المخروط:
نستخدم القانون التالي لحساب حجم المخروط:

$V_{\text{مخروط}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

في هذه الحالة:

$V_{\text{مخروط}} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{1}{10}\right)^2 \times \frac{1}{5} \pi$

$V_{\text{مخروط}} = \frac{1}{150} \pi^2$

الإجابة:
إذاً، ارتفاع المخروط هو $\frac{1}{150} \pi^2$ سم.

القوانين المستخدمة:

1. مساحة القطاع الدائري: $A_{\text{قطاع}} = \frac{n}{360} \times \pi r^2$
2. طول القوس: $\text{طول القوس} = \frac{n}{360} \times 2\pi r$
3. نصف قطر القاعدة: $\text{نصف قطر القاعدة} = \frac{\text{طول القوس}}{2\pi}$
4. حجم المخروط: $V_{\text{مخروط}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$