حساب احتمالية تكوين مكعب داخل صندوق (مسألة رياضيات)

نشرع في إعادة صياغة المسألة الرياضية باللغة العربية:

نقوم باختيار ثلاثة أرقام بدون استبدال من مجموعة ${1, X, 3, \dots, 1000}$، ونقوم بنفس العملية مرة أخرى لاختيار ثلاثة أرقام أخرى من المجموعة المتبقية التي تحتوي على 997 رقمًا. يتمثل الهدف في حساب احتمالية $p$ التي تكون نسبة تكوين مكعب بأبعاد $a_1 \times a_2 \times a_3$ داخل صندوق بأبعاد $b_1 \times b_2 \times b_3$ بعد دوران مناسب.

لحساب هذه الاحتمالية، نستخدم المبدأ التالي: إذا كان بإمكاننا ترتيب الأرقام بحيث $a_1 \leq a_2 \leq a_3$ و $b_1 \leq b_2 \leq b_3$، فإن المكعب يمكن أن يتناسب مع الصندوق إذا وفقت الشروط التالية:

1. $a_1$ يمكن أن يكون أي من الأرقام الثلاثة في $b_1$, $b_2$, $b_3$.
2. $a_2$ يمكن أن يكون أحد الأرقام الباقية الذين لم يتم اختيارهم من قبل.
3. $a_3$ يمكن أن يكون الرقم الوحيد الباقي.

بناءً على هذه الشروط، نحسب عدد الطرق التي يمكن بها تكوين المكعب داخل الصندوق. ثم نقسم هذا العدد على إجمالي عدد الطرق الممكنة لاختيار الأرقام.

الآن، دعونا نقوم بكتابة الحل بشكل مفصل:

عدد الطرق التي يمكن بها تكوين المكعب:
$3 \times \binom{3}{1} \times \binom{996}{2}$

إجمالي عدد الطرق الممكنة لاختيار الأرقام:
$\binom{1000}{3} \times \binom{997}{3}$

وبالتالي، الاحتمالية $p$ تكون:
$p = \frac{3 \times \binom{3}{1} \times \binom{996}{2}}{\binom{1000}{3} \times \binom{997}{3}}$

الآن، لنقوم بتبسيط هذا الكسر وجمع البسط والمقام:

$p = \frac{3 \times 3 \times \frac{996 \times 995}{2}}{\frac{1000 \times 999 \times 998}{6} \times \frac{997 \times 996 \times 995}{6}}$

بعد التبسيط، يمكننا الحصول على قيمة $p$:

$p = \frac{3 \times 3 \times 996 \times 995}{1000 \times 999 \times 998 \times 997}$

الآن، نقوم بجمع البسط والمقام:

$p = \frac{3 \times 3 \times 996 \times 995}{1000 \times 999 \times 998 \times 997} = \frac{891}{3323345}$

إذاً، إذا كانت مجموع البسط والمقام هو 5، نحصل على:

$891 + 3323345 = 3324236$

إذاً، قيمة المتغير المجهول $X$ هي 3324236.

بالطبع، دعونا نقوم بتوضيح الحل بشكل أكثر تفصيلًا وذلك باستخدام القوانين الرياضية والاحتمالات المستخدمة في الحسابات.

لنبدأ بتحديد عدد الطرق التي يمكن بها تكوين المكعب داخل الصندوق:

1. نختار رقمًا من بين الثلاثة أرقام المختارة لتكوين المكعب، وهو يمكن أن يكون في أي من الثلاثة مواقع داخل الصندوق. لذا، لدينا $3$ طرق لاختيار الموقع.

2. نختار رقمًا آخر ليكون الحجم الثاني للمكعب، وهو يمكن أن يكون أي من الأرقام المتبقية الباقية. لدينا $\binom{996}{2}$ طريقة لاختيار الرقمين الآخرين من المتبقين في المجموعة.

بالتالي، إجمالي عدد الطرق لتكوين المكعب هو $3 \times \binom{996}{2}$.

الآن، لحساب إجمالي عدد الطرق الممكنة لاختيار الأرقام، نستخدم الصيغة:

$\binom{1000}{3} \times \binom{997}{3}$

ثم، نستخدم قاعدة حساب الاحتمال بمعرفة عدد الطرق المحتملة للحدث المطلوب على إجمالي عدد الطرق الممكنة، وذلك باستخدام الصيغة:

$p = \frac{\text{عدد الطرق لتكوين المكعب}}{\text{إجمالي عدد الطرق الممكنة}}$

الآن، سنقوم بتبسيط هذا التعبير:

$p = \frac{3 \times \binom{3}{1} \times \binom{996}{2}}{\binom{1000}{3} \times \binom{997}{3}}$

نستخدم القاعدة التوسيعية للمثلث:

$\binom{n}{k} = \frac{n \times (n-1) \times \dots \times (n-k+1)}{k \times (k-1) \times \dots \times 1}$

ونستخدمها لتبسيط الصيغة، حيث أن $\binom{3}{1} = 3$ و $\binom{996}{2} = \frac{996 \times 995}{2}$:

$p = \frac{3 \times 3 \times \frac{996 \times 995}{2}}{\frac{1000 \times 999 \times 998}{6} \times \frac{997 \times 996 \times 995}{6}}$

بعد إجراء الضرب والتبسيط، نحصل على:

$p = \frac{3 \times 3 \times 996 \times 995}{1000 \times 999 \times 998 \times 997}$

أخيرًا، نجمع البسط والمقام:

$p = \frac{3 \times 3 \times 996 \times 995}{1000 \times 999 \times 998 \times 997} = \frac{891}{3323345}$

والمعادلة النهائية هي:

$891 + 3323345 = 3324236$

وهذا هو الجواب النهائي، حيث تكون قيمة المتغير المجهول $X$ هي 3324236.