حساب احتمالية المنتج المعقد (مسألة رياضيات)

نعتبر مجموعة النقاط $V$ التي تمثل رؤوس السداسي المتماثل في السطح المعقد. النقاط معبرة بواسطة الأعداد المركبة في السطح المعقد.

للعثور على احتمال حدوث الحدث $P=-1$، يجب علينا أن نجمع حالات حدوث هذا الحدث على حساب الحالات الإجمالية. نأخذ المنتج $P$ كمتغير عشوائي ونرغب في حساب الاحتمال.

لدينا $12$ نقطة في $V$، وبما أن كل نقطة تختار عشوائياً ومستقلة من النقاط الأخرى، يمكننا حساب احتمال حدوث $P=-1$ عن طريق حساب عدد الطرق التي يمكن فيها الحصول على المنتج $P=-1$ وقسمتها على عدد الطرق الإجمالية لاختيار $12$ نقطة.

الآن دعونا نقوم بحساب عدد الطرق التي يمكن فيها الحصول على المنتج $P=-1$. إذا كان لدينا $z_j$ هو عبارة عن عدد معقد في $V$، فإن الشرط الذي يجعل المنتج $P$ يكون مساويًا للوحدة هو أن يكون الزميل المرافق لـ $z_j$ هو العدد المعكوس له. بمعنى آخر، إذا كان $z_j=a+bi$، فإن $-1/z_j$ يكون $-a-bi$. لذا، نريد أن نحسب كم زوج من النقاط في $V$ يحقق هذا الشرط.

ستكون هناك نقطتين لكل نقطة في $V$ يمكن أن تحقق الشرط المطلوب. لنقم بحساب عدد الطرق:

1. نقطة $\sqrt{2}i$ يمكن أن تتزامن مع $-\sqrt{2}i$.
2. نقطة $-\sqrt{2}i$ يمكن أن تتزامن مع $\sqrt{2}i$.
3. نقطة $\frac{1}{\sqrt{8}}(1+i)$ يمكن أن تتزامن مع $\frac{1}{\sqrt{8}}(-1-i)$.
4. نقطة $\frac{1}{\sqrt{8}}(-1-i)$ يمكن أن تتزامن مع $\frac{1}{\sqrt{8}}(1+i)$.
5. نقطة $\frac{1}{\sqrt{8}}(1-i)$ يمكن أن تتزامن مع $\frac{1}{\sqrt{8}}(-1+i)$.
6. نقطة $\frac{1}{\sqrt{8}}(-1+i)$ يمكن أن تتزامن مع $\frac{1}{\sqrt{8}}(1-i)$.

إجمالاً، هناك $6$ طرق للحصول على المنتج $P=-1$ لكل اختيار للنقاط. لدينا $12$ نقطة، لذا عدد الطرق الإجمالي هو $6^{12}$.

الآن، نقوم بحساب الاحتمال عن طريق قسمة عدد الطرق التي يمكن فيها الحصول على $P=-1$ على العدد الإجمالي للطرق:

$P=\frac{6^{12}}{6^{12}}=1.$

لكن إذا كانت الإجابة المعطاة هي $233$، فإنه يجب أن يكون هناك خطأ. ربما هناك خطأ في الاستنتاج أو في السؤال الأصلي. من الممكن أن يكون الخطأ في قيمة $X$ التي يجب حسابها. للعثور على القيمة الصحيحة لـ $X$، يجب أن نقوم بإعادة فحص السؤال الأصلي والاستنتاجات التي تم اتخاذها.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم الأعداد المعقدة وخصائصها، بالإضافة إلى قوانين الجمع والضرب في الأعداد المعقدة.

أولاً، لنقوم بفحص خصائص الأعداد المعقدة المستخدمة في هذه المسألة. الأعداد في مجموعة $V$ تمثل رؤوس سداسي متماثل في السطح المعقد. تأتي هذه الأعداد في زوجين متماثلين، حيث يكون الزميل المرافق لكل عدد هو العدد المعكوس له. على سبيل المثال، إذا كان $z$ هو عدد في $V$، فإن $-z$ يكون العدد المعكوس له.

ثم، نحتاج إلى حساب عدد الطرق التي يمكن فيها الحصول على المنتج $P=-1$. نحن نقوم بذلك عن طريق اختيار نقطة من كل زوج متماثل، وهذا يتيح لنا الحصول على $P=-1$.

الآن، لدينا $6$ أزواج متماثلة، ولكل زوج هناك زوجان من النقاط الذين يمكن أن يكونوا زملاً مع بعضهما البعض. لذا، إجمالاً لدينا $6^{2}$ طريقة لاختيار النقاط. ونظراً لأننا نختار $12$ نقطة، يكون لدينا $6^{12}$ طريقة مختلفة لاختيار النقاط.

أخذاً في اعتبارنا أن الإجابة المعطاة هي $233$، نعرف أن هناك خطأ في الحساب أو الاستنتاج. يمكن أن يكون الخطأ في القيمة المستخدمة لـ $X$، حيث يجب علينا التأكد من أنه تم استخدام القيمة الصحيحة.

القوانين المستخدمة في الحل تتضمن:

1. قانون الجمع في الأعداد المعقدة: إذا كانت $a+bi$ و $c+di$ هما أعداد معقدة، فإن مجموعهما هو $(a+c) + (b+d)i$.
2. قانون الضرب في الأعداد المعقدة: إذا كانت $a+bi$ و $c+di$ هما أعداد معقدة، فإن حاصل ضربهما هو $(ac-bd) + (ad+bc)i$.

إذا كنت بحاجة إلى مزيد من التفاصيل أو شرح أكثر دقة لأي جزء من الحل، فلا تتردد في طلب ذلك.