حساب احتمالات رمي العملة: حالة 8 رؤوس من 10 (مسألة رياضيات)

نقوم برمي عملة عادلة مرة واحدة ونلاحظ إما رؤوسًا (Heads) أو أذيالًا (Tails). إذا كان لدينا 10 رميات للعملة، نريد حساب الاحتمالية للحصول على رؤوس في 8 من هذه الرميات.

لحساب هذه الاحتمالية، نستخدم الصيغة العامة للاحتمال:

$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{(n-k)}$

حيث:

• $n$ هو عدد مرات الرمي (في هذه الحالة، 10).
• $k$ هو عدد المرات التي نريد الحصول فيها على رؤوس (في هذه الحالة، 8).
• $p$ هو احتمال الحصول على رؤوس في رميه واحدة (في حالة العملة العادلة، $p = \frac{1}{2}$).
• $q$ هو احتمال الحصول على أذيال في رميه واحدة (في حالة العملة العادلة، $q = \frac{1}{2}$).

الصيغة المستخدمة تعتمد على مفهوم الأعداد الثنائية ($\binom{n}{k}$) وتعبر عن عدد الطرق التي يمكننا بها اختيار $k$ نجاحات من بين $n$ محاولة.

إذاً، في حالتنا:
$P(X=8) = \binom{10}{8} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2$

حل الجزء العددي:
$P(X=8) = \frac{10!}{8! \cdot (10-8)!} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2$

$P(X=8) = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} \cdot \left(\frac{1}{256}\right)$

$P(X=8) = \frac{90}{256}$

الآن، إذا كانت الإجابة المعطاة مسبقًا هي $\frac{45}{1024}$، نقارن بينها وبين إجابتنا:

$\frac{90}{256} = \frac{45}{1024}$

لنجد قيمة المجهول $X$ نضرب كل جانب في المعامل المشترك:

$90 \cdot 1024 = 45 \cdot 256$

$92160 = 11520$

$X = \frac{92160}{11520}$

$X = 8$

إذا كانت الإجابة المعطاة هي $\frac{45}{1024}$، فإن القيمة المجهولة $X$ هي 8.

لحل مسألة احتمالية رمي العملة، نستخدم قاعدة الاحتمالات وقاعدة الأعداد الثنائية (قاعدة الاحتمالات والتوزيع الثنائي). القوانين المستخدمة في الحل تشمل:

1. قاعدة الاحتمالات:
   يتمثل في استخدام الاحتمالات لحساب احتمال وقوع حدث معين. في حالة رمي العملة، إذا كانت العملة عادلة، فإن احتمال الحصول على رؤوس ($p$) أو أذيال ($q$) في رمية واحدة هو $\frac{1}{2}$ لكل منهما.

2. قاعدة الأعداد الثنائية (التوزيع الثنائي):
   تستخدم لحساب عدد الطرق التي يمكن فيها اختيار عدد معين من النجاحات في سلسلة من التجارب الاحتمالية. يُرمز إلى هذا برمز $\binom{n}{k}$ ويُقرأ “ن اختيار ك من بين ن”، حيث $n$ هو إجمالي عدد المحاولات و$k$ هو عدد النجاحات.

الآن، لنقم بحساب الاحتمالية للحصول على رؤوس في 8 من 10 رميات:

$P(X=8) = \binom{10}{8} \cdot p^8 \cdot q^2$

حيث:

• $n = 10$ (إجمالي عدد المحاولات)
• $k = 8$ (عدد النجاحات المطلوبة)
• $p = \frac{1}{2}$ (احتمال الحصول على رؤوس في رمية واحدة)
• $q = \frac{1}{2}$ (احتمال الحصول على أذيال في رمية واحدة)

نقوم بحساب $\binom{10}{8}$ باستخدام الصيغة:

$\binom{10}{8} = \frac{10!}{8! \cdot (10-8)!} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$

ثم نقوم بتعويض القيم في الصيغة:

$P(X=8) = 45 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{45}{1024}$

إذا كانت الإجابة المعطاة مسبقًا هي $\frac{45}{1024}$، فإن قيمة المجهول $X$ هي 8.

تم استخدام القوانين المذكورة لتفسير وحل المسألة بطريقة رياضية دقيقة وتفصيلية.