حساب احتمال سحب بطاقتين مختلفتين (مسألة رياضيات)

إذا تم سحب بطاقتين معًا من حزمة تحتوي على 52 بطاقة، فإن احتمالية أن تكون إحدى البطاقتين هي من نوع البستان (spade) والأخرى من نوع القلب (heart) هي:

$P(\text{spade and heart}) = P(\text{spade}) \times P(\text{heart})$

نعلم أن هناك 13 بطاقة من نوع البستان في الحزمة (من 2 إلى 10 والصورة والآس)، وهناك أيضًا 13 بطاقة من نوع القلب. لذا، يمكننا استخدام هذه المعلومات لحساب احتمالية سحب بطاقة بستان ثم بطاقة قلب. الاحتمالات تكون كالتالي:

$P(\text{spade}) = \frac{13}{52}$
$P(\text{heart}) = \frac{13}{51}$

ثم يمكننا ضرب هاتين الاحتماليتين للحصول على احتمالية حدوث الحدثين معًا:

$P(\text{spade and heart}) = \frac{13}{52} \times \frac{13}{51}$

لنقم بحساب هذا المعبّر عنه بالكسر:

$P(\text{spade and heart}) = \frac{13 \times 13}{52 \times 51}$

ويمكن تبسيط هذا الكسر عن طريق إلغاء العوامل المشتركة:

$P(\text{spade and heart}) = \frac{169}{2652}$

بعد ذلك، إذا أردنا تبسيط هذا الكسر إلى أبسط صورة، يمكننا قسمة البسط والمقام على 13:

$P(\text{spade and heart}) = \frac{169 \div 13}{2652 \div 13}$

وبتبسيط ذلك:

$P(\text{spade and heart}) = \frac{13}{204}$

إذا كانت الإجابة هي $\frac{13}{204}$، وهي الاحتمالية المطلوبة.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى استخدام مفهوم احتمالات وقوانين الاحتمالات. القوانين المستخدمة هي قوانين الضرب وقوانين الاحتمال الشرطية.

1. قانون الضرب:
   قانون الضرب ينطبق عندما نرغب في حساب احتمالية حدوث سلسلة من الأحداث. إذا كانت الأحداث مستقلة (وهو الحال هنا، حيث أن سحب البطاقتين لا يؤثر على بعضها البعض)، يمكننا استخدام قانون الضرب الذي يقول إن احتمال حدوث سلسلة من الأحداث يكون هو الضرب التسلسلي لاحتمالات الحدوث الفردية.

2. قوانين الاحتمال الشرطية:
   هنا استخدمنا احتمال الحدوث المشروط، أي احتمال حدوث حدث بناءً على حدوث حدث آخر. في هذه الحالة، حينما نحسب احتمال سحب بطاقة من نوع البستان أولاً، يصبح الحدث التالي هو سحب بطاقة من نوع القلب.

الآن، دعونا نقوم بتفصيل الحل:

أولاً، حساب احتمال سحب بطاقة بستان:
$P(\text{spade}) = \frac{\text{عدد بطاق البستان}}{\text{إجمالي عدد البطاقات}} = \frac{13}{52}$

ثانيًا، حساب احتمال سحب بطاقة قلب بعد سحب بطاقة بستان:
$P(\text{heart | spade}) = \frac{\text{عدد بطاق القلب المتبقية}}{\text{إجمالي عدد البطاقات المتبقية}} = \frac{13}{51}$
(تم تقليص البطاقات بعد سحب بطاقة بستان)

ثم، استخدام قانون الضرب:
$P(\text{spade and heart}) = P(\text{spade}) \times P(\text{heart | spade})$

وأخيراً، تبسيط الكسر للحصول على الإجابة النهائية:
$P(\text{spade and heart}) = \frac{13 \times 13}{52 \times 51} = \frac{13}{204}$

القوانين المستخدمة في هذا الحل هي أساسية في مجال الاحتمالات وتساعد في فهم كيفية حساب احتمالات حدوث أحداث متتالية.