مسائل رياضيات

حساب إسقاط موازي الناقلات الرياضية (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 16/01/2024
0

لنكن $\mathbf{v}$ و $\mathbf{w}$ هما ناقلتين بحيث $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = -3$ و $|\mathbf{w}| = 5.$ يُطلب منا حساب مقدار الإسقاط الموازي لناقلة $\mathbf{v}$ على ناقلة $\mathbf{w}$.

لحساب مقدار الإسقاط الموازي لناقلة $\mathbf{v}$ على ناقلة $\mathbf{w}$، نستخدم الصيغة التالية:

مواضيع ذات صلة
proj⁡wv=v⋅w∥w∥2⋅w\operatorname{proj}_{\mathbf{w}} \mathbf{v} = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}}{\|\mathbf{w}\|^2} \cdot \mathbf{w}

حيث $\operatorname{proj}_{\mathbf{w}} \mathbf{v}$ هو الإسقاط الموازي لناقلة $\mathbf{v}$ على ناقلة $\mathbf{w}$، و $\cdot$ يمثل عملية الضرب النقطي.

نعوض القيم المعطاة في المسألة:

proj⁡wv=(−3)(5)2⋅w\operatorname{proj}_{\mathbf{w}} \mathbf{v} = \frac{(-3)}{(5)^2} \cdot \mathbf{w}

الآن، قبل أن نحسب القيمة النهائية، نحتاج إلى حساب مربع الناقلة $\mathbf{w}$، وذلك بجعل الجمع بين مربعات مكوناتها. إذا كانت $\mathbf{w} = \begin{bmatrix} w_1 \ w_2 \ \end{bmatrix}$، فإن

∥w∥2=w12+w22\|\mathbf{w}\|^2 = w_1^2 + w_2^2

لكننا لا نعلم القيم الدقيقة لمكونات $\mathbf{w}$، لذلك لنحسن الأمور قليلاً، دعونا نفترض أن $\mathbf{w}$ هي ناقلة ثنائية الأبعاد، أي $\mathbf{w} = \begin{bmatrix} w_1 \ w_2 \ \end{bmatrix}$، حيث $w_1$ و $w_2$ هما مكونات $\mathbf{w}$.

الآن نستخدم القيم المعطاة:

∥w∥2=w12+w22=52=25\|\mathbf{w}\|^2 = w_1^2 + w_2^2 = 5^2 = 25

الآن نستخدم هذه القيمة في حساب مقدار الإسقاط:

proj⁡wv=(−3)25⋅w\operatorname{proj}_{\mathbf{w}} \mathbf{v} = \frac{(-3)}{25} \cdot \mathbf{w}

إذاً، مقدار الإسقاط الموازي لناقلة $\mathbf{v}$ على ناقلة $\mathbf{w}$ هو:

proj⁡wv=−325w\operatorname{proj}_{\mathbf{w}} \mathbf{v} = -\frac{3}{25} \mathbf{w}

هذا هو الحل النهائي للمسألة المعطاة.

المزيد من المعلومات

لنقم بحساب مقدار الإسقاط الموازي لناقلة $\mathbf{v}$ على ناقلة $\mathbf{w}$ بشكل أكثر تفصيلًا، سنستخدم القوانين الرياضية التالية:

  1. صيغة الإسقاط الموازي:

    proj⁡wv=v⋅w∥w∥2⋅w\operatorname{proj}_{\mathbf{w}} \mathbf{v} = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}}{\|\mathbf{w}\|^2} \cdot \mathbf{w}

  2. ضرب نقطي (dot product):

    v⋅w=v1w1+v2w2\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = v_1 w_1 + v_2 w_2

  3. مقدار الناقلة:

    ∥w∥=w12+w22\|\mathbf{w}\| = \sqrt{w_1^2 + w_2^2}

لنحل المسألة، لدينا $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = -3$ و$|\mathbf{w}| = 5$.

أولاً، نقوم بحساب مربع مقدار $\mathbf{w}$:

∥w∥2=w12+w22=52=25\|\mathbf{w}\|^2 = w_1^2 + w_2^2 = 5^2 = 25

الآن، نستخدم صيغة الإسقاط الموازي:

proj⁡wv=v⋅w∥w∥2⋅w\operatorname{proj}_{\mathbf{w}} \mathbf{v} = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}}{\|\mathbf{w}\|^2} \cdot \mathbf{w}

باستخدام قيم المسألة:

proj⁡wv=(−3)25⋅[w1w2]\operatorname{proj}_{\mathbf{w}} \mathbf{v} = \frac{(-3)}{25} \cdot \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \end{bmatrix}

النتيجة النهائية هي:

proj⁡wv=−325[w1w2]\operatorname{proj}_{\mathbf{w}} \mathbf{v} = -\frac{3}{25} \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \end{bmatrix}

يمكن تلخيص الخطوات بما يلي:

  1. حساب مربع مقدار $\mathbf{w}$ باستخدام مكوناتها.
  2. استخدام صيغة الإسقاط الموازي لحساب المشبع الموازي لناقلة $\mathbf{v}$ على ناقلة $\mathbf{w}$.
  3. توضيح القوانين الرياضية المستخدمة في الحل.

باستخدام هذه القوانين، نحقق الهدف من المسألة ونحسب النتيجة بشكل دقيق ومفصل.

اخر تحديث 16/01/2024
0