حساب إحداثيات نقطة الوسط (مسألة رياضيات)

نعتبر نقطة $M(3,7)$ نقطة منتصف القطعة $\overline{AB}$. إذا كانت نقطة $A$ لها إحداثيات $(9,3)$، فإن إحداثيات نقطة $B$ يمكن أن تحسب بواسطة الصيغة الآتية:

$M = \left( \frac{{x_A + x_B}}{2}, \frac{{y_A + y_B}}{2} \right)$

حيث $(x_A, y_A)$ هي إحداثيات نقطة $A$، و $(x_B, y_B)$ هي إحداثيات نقطة $B$. في هذه الحالة، لدينا:

$M(3,7) = \left( \frac{{9 + x_B}}{2}, \frac{{3 + y_B}}{2} \right)$

نحل للحصول على إحداثيات نقطة $B$. لنحسب الإحداثيات الرأسية $x_B$، نستخدم المعادلة الأولى:

$\frac{{9 + x_B}}{2} = 3$

نحل للحصول على $x_B$:

$9 + x_B = 2 \times 3$

$x_B = 6$

الآن نحسب الإحداثيات الرأسية $y_B$ باستخدام المعادلة الثانية:

$\frac{{3 + y_B}}{2} = 7$

نحل للحصول على $y_B$:

$3 + y_B = 2 \times 7$

$y_B = 14$

إذاً، نقطة $B$ لها إحداثيات $(6,14)$. للعثور على مجموع إحداثيات نقطة $B$، نجمع قيم $x_B$ و $y_B$:

$6 + 14 = 20$

إذاً، مجموع إحداثيات نقطة $B$ هو 20.

لحل هذه المسألة، استخدمنا مفهوم نقطة الوسط أو النقطة المنتصف ($M$) في النصف الأول من الإجابة. فيما يلي تفاصيل أكثر والقوانين المستخدمة:

1. معادلة نقطة الوسط:
   في هذا السياق، نستخدم معادلة نقطة الوسط لحساب إحداثيات نقطة ($B$) إذا كنا نعرف إحداثيات نقطة ($A$) ونقطة الوسط ($M$). المعادلة تأتي على النحو التالي:
   $M = \left( \frac{{x_A + x_B}}{2}, \frac{{y_A + y_B}}{2} \right)$

2. حساب إحداثيات $B$:
   نستخدم المعادلة لحل قيم $x_B$ و $y_B$ بناءً على إحداثيات $A$ و $M$:
   $\frac{{9 + x_B}}{2} = 3$
   $\frac{{3 + y_B}}{2} = 7$

   حلنا للمعادلتين يعطينا $x_B = 6$ و $y_B = 14$.

3. مجموع إحداثيات $B$:
   بمجرد حصولنا على إحداثيات $B$، نقوم بجمع قيم $x_B$ و $y_B$ للحصول على الناتج النهائي:
   $x_B + y_B = 6 + 14 = 20$

4. التحقق من الإجابة:
   يمكننا التحقق من صحة إجابتنا عن طريق التأكد من أن نقطة $M$ هي نقطة الوسط بفعلها. نحسب إحداثيات $M$ باستخدام المعادلة:
   $M = \left( \frac{{x_A + x_B}}{2}, \frac{{y_A + y_B}}{2} \right)$
   ونتحقق من أن القيم تطابق الإحداثيات المعطاة لنقطة $M$.

5. القوانين المستخدمة:

   • معادلة نقطة الوسط:
     $M = \left( \frac{{x_A + x_B}}{2}, \frac{{y_A + y_B}}{2} \right)$
   • حساب القيم:
     $\frac{{9 + x_B}}{2} = 3$
     $\frac{{3 + y_B}}{2} = 7$

باستخدام هذه القوانين والمعادلات، تمكنا من حساب إحداثيات نقطة $B$ ومن ثم حساب مجموع إحداثياتها، وتحققنا من الصحة باستخدام نقطة الوسط.