حساب أكبر مضاعف مشترك (مسألة رياضيات)

العثور على أكبر عدد يقسم 48 و 210 و 136، متركاً باقيًا يساوي 4 و 12 و 4 على التوالي.

الحل:
لحل هذه المسألة، نستخدم مفهوم “المضاعف المشترك الأكبر” (GCD)، الذي يعني العدد الأكبر الذي يقسم جميع الأعداد المعنية بدون أن يترك باقي.

لنجد GCD بين 48 و 210 و 136، نقوم بتفحص العوامل المشتركة لهذه الأعداد. يمكننا بدء العملية بتحليل العدد 48:

48 = 2^4 * 3

ثم نحلل 210:

210 = 2 * 3 * 5 * 7

وأخيرًا، نحلل 136:

136 = 2^3 * 17

الآن، نقوم بجمع العوامل المشتركة مع أصغر الأسوأل، لأننا نحتاج إلى الأس الأصغر للحفاظ على التقسيم دون باقي:

GCD(48, 210, 136) = 2^3 * 3 = 24

إذاً، العدد 24 هو أكبر عدد يمكنه قسم 48 و 210 و 136 متركاً باقيًا يساوي 4 و 12 و 4 على التوالي.

لحل هذه المسألة، نستخدم مفهوم “المضاعف المشترك الأكبر” (GCD)، الذي يعتبر العدد الأكبر الذي يقسم جميع الأعداد المعنية بدون باقي. للقيام بذلك، نستخدم عدة خطوات:

1. تحليل الأعداد:
   نقوم بتحليل الأعداد المعنية إلى عوامل أولية. في هذه المسألة، نحلل 48 و 210 و 136 إلى عواملها الأولية.

   • لـ 48: $48 = 2^4 * 3$
   • لـ 210: $210 = 2 * 3 * 5 * 7$
   • لـ 136: $136 = 2^3 * 17$

2. تحديد العوامل المشتركة:
   نحدد العوامل المشتركة بين الأعداد. في هذه الحالة، العامل المشترك الرئيسي هو 2.

3. اختيار أقل الأسوأل:
   نقوم بجمع الأسوأل الأقل للعوامل المشتركة. في هذه الحالة، نأخذ الأس الأقل للعدد 2، الذي هو 2^3.

4. حساب المضاعف المشترك الأكبر:
   نقوم بحساب المضاعف المشترك الأكبر باستخدام العوامل التي تم اختيارها في الخطوة السابقة. في هذه الحالة:

   $\text{GCD}(48, 210, 136) = 2^3 = 8$

5. التحقق من الباقي:
   نتأكد أن هذا العدد يقسم الأعداد المعنية بدون باقي. في هذه الحالة، يمكننا التحقق من أن 48 ÷ 8 = 6، و 210 ÷ 8 = 26، و 136 ÷ 8 = 17، وهي جميعها تعطي باقيًا يساوي 0.

قوانين المستخدمة في الحل:

• تحليل الأعداد إلى عوامل أولية: يعتمد على قاعدة أن أي عدد يمكن تحليله إلى حاصل ضرب عوامل أولية.

• العامل المشترك الرئيسي: استخدام قاعدة تحديد العوامل المشتركة بين الأعداد.

• اختيار أقل الأسوأل: يعتمد على أننا نحتاج إلى الأس الأقل للعوامل المشتركة.

• حساب المضاعف المشترك الأكبر: يعتمد على جمع الأسوأل المحدد في الخطوة السابقة.

• التحقق من الباقي: نتأكد أن المضاعف المشترك الأكبر يقسم الأعداد المعنية بدون باقي.