حساب أكبر مشترك للقوى (مسألة رياضيات)

أوجد أكبر مشترك للقوى بين العددين 40304 و 30203.

الحل:

لحساب القاسم المشترك الأكبر (GCD) بين العددين 40304 و 30203، سنستخدم خوارزمية القسمة الطويلة. تبدأ العملية بقسم العدد الأكبر على العدد الأصغر وتكرار العملية حتى نحصل على باقي يساوي صفر. العدد الذي كان في الموقع الأصغر قبل الصفر هو القاسم المشترك الأكبر.

لذا، نقوم بالخطوات التالية:

1. 40304 ÷ 30203 = 1 والباقي 10101.
2. 30203 ÷ 10101 = 2 والباقي 0.

بما أن الباقي أصبح صفرًا، فإن 10101 هو القاسم المشترك الأكبر بين 40304 و 30203.

إذاً، GCD(40304، 30203) = 10101.

لحساب القاسم المشترك الأكبر (GCD) بين العددين 40304 و 30203 باستخدام خوارزمية القسمة الطويلة، يمكننا استخدام الخطوات التالية:

1. بداية القسمة:
   نقسم العدد 40304 على العدد 30203، ونحسب الناتج والباقي.
   $40304 \div 30203 = 1 \، الباقي: 10101$

2. القسمة مرة أخرى:
   نقسم العدد 30203 على الباقي الذي حصلنا عليه في الخطوة السابقة (10101).
   $30203 \div 10101 = 2 \، الباقي: 0$

3. اختتام العملية:
   بما أن الباقي أصبح صفرًا، يكون العدد الذي كنا نقسم عليه في الخطوة الأخيرة (10101) هو القاسم المشترك الأكبر.

القوانين المستخدمة:

• قانون القسمة الطويلة:
  ينص على أنه يمكننا قسم عدد على عدد آخر، ونحسب الناتج والباقي. هذا يُستخدم لتحليل الأعداد واستخراج القواسم.

• قانون GCD:
  ينص على أن GCD بين عددين هو أكبر عدد صحيح يقسم كليًا كلا العددين. إذا كانت القسمة الطويلة تؤدي إلى باقي صفر، فإن العدد الذي تم قسمه هو GCD.

تفاصيل إضافية:
تستند العملية إلى تقسيم الأعداد وتكرار هذه الخطوات حتى الوصول إلى باقي يكون صفرًا. تعتمد الطريقة على مفهوم القاسم المشترك الأكبر وكيفية العثور عليه باستخدام عمليات القسمة والباقي.