حساب أكبر قاسم مشترك لتعبيرات رياضية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي: إذا كانت $a$ هي مضاعف فردي لعدد $7767$، فجد القاسم المشترك الأكبر بين $6a^2 + 49a + 108$ و $2a + 9$.

حل المسألة:
لحل هذه المسألة، نبدأ بحساب قيمة $a$ باعتبارها مضاعفًا فرديًا لعدد $7767$. إذا كان $a$ هو عدد فردي، فإنه يمكن تعبيره بواسطة $a = 2k$ حيث $k$ عدد صحيح.

نعوض القيمة في التعبير $a = 2k$ في المعادلة الأصلية $a = 7767 \cdot n$:
$2k = 7767 \cdot n$

من هنا، نحسب قيمة $k$:
$k = \frac{7767 \cdot n}{2} = 3883 \cdot n$

الآن، نستخدم القيمة المحسوبة لـ $k$ لتعبير $a$ بشكل جديد:
$a = 2 \cdot 3883 \cdot n = 7766 \cdot n$

بما أن $a$ عدد فردي، فإنه يمكن تعبيره أيضًا عن طريق $a = 2m + 1$ حيث $m$ عدد صحيح. نستخدم هذا التعبير للعثور على قيمة $n$:
$7766 \cdot n = 2m + 1$

من هنا، نحصل على:
$n = \frac{2m}{7766} + \frac{1}{7766}$

الآن، نستخدم القيمة المحسوبة لـ $n$ لحساب قيمة $a$:
$a = 7766 \cdot n = 7766 \cdot \left(\frac{2m}{7766} + \frac{1}{7766}\right) = 2m + 1$

بما أننا عثرنا على قيمة $a$ على شكل $2m + 1$ حيث $m$ عدد صحيح، فإن $a$ هو عدد فردي.

الآن، نستخدم قاعدة أقل مضاعف مشترك لحساب القاسم المشترك الأكبر بين $6a^2 + 49a + 108$ و $2a + 9$. يمكن تعبيرهما بشكل عام على التوالي كالتالي:
$6a^2 + 49a + 108 = 6(2m + 1)^2 + 49(2m + 1) + 108$
$2a + 9 = 2(2m + 1) + 9$

نقوم بحساب هاتين المتغيرتين ونجد القاسم المشترك الأكبر. يمكننا استخدام تقنيات عدم الربط المتعلقة بتحليل العوامل والتبسيط للوصول إلى الإجابة.

$6(2m + 1)^2 + 49(2m + 1) + 108 = 24m^2 + 36m + 13$
$2(2m + 1) + 9 = 4m + 11$

الآن، نقوم بحساب القاسم المشترك الأكبر بين $24m^2 + 36m + 13$ و $4m + 11$. يمكننا استخدام طرق تحليل العوامل والتبسيط للوصول إلى الإجابة.

بالطبع، دعونا نواصل حل المسألة بتفصيل أكثر ونستعرض القوانين والخطوات المستخدمة في الحل.

المسألة الرياضية تتطلب منا البحث عن القاسم المشترك الأكبر بين $6a^2 + 49a + 108$ و $2a + 9$، حيث أن $a$ يُعرف بأنه عدد فردي مضاعف لعدد $7767$.

لنبدأ بتعبير $a$ بشكل فعّال بما يعكس الشروط المعطاة. إذا كان $a$ عددًا فرديًا، يمكننا تعبيره على الشكل التالي: $a = 2m + 1$، حيث $m$ هو عدد صحيح. لنقم بحساب قيمة $a$ باستخدام هذا التعبير:

$a = 2m + 1$

الخطوة التالية تتطلب حساب قيمة $6a^2 + 49a + 108$، لنقم بهذا الحساب بتوسيع التعبير والتبسيط:

$6a^2 + 49a + 108 = 6(2m + 1)^2 + 49(2m + 1) + 108$

توسيع هذا التعبير يؤدي إلى:

$24m^2 + 36m + 13$

ثم نقوم بحساب قيمة $2a + 9$:

$2a + 9 = 2(2m + 1) + 9 = 4m + 11$

الآن، نبحث عن القاسم المشترك الأكبر بين $24m^2 + 36m + 13$ و $4m + 11$. يمكن استخدام قوانين عدم الربط وتحليل العوامل لتبسيط العبارات. يمكننا ملاحظة أنه لا يمكن تبسيط العبارة بشكل كامل، ولكن يمكننا التحقق من عدم وجود قاسم مشترك بين العبارتين باستخدام قاعدة عدم الربط.

القاعدة: إذا كان هناك قاسم مشترك بين العبارتين، يكون هذا القاسم مشتركًا أيضًا مع الفرق بينهما.

بعد التحقق، نجد أن لا يوجد قاسم مشترك بين $24m^2 + 36m + 13$ و $4m + 11$. إذاً، القاسم المشترك الأكبر هو $1$.

لذا، الإجابة النهائية هي أن أكبر قاسم مشترك بين $6a^2 + 49a + 108$ و $2a + 9$ هو $1$.