حساب أكبر عامل مشترك وأقل مضاعف مشترك (مسألة رياضيات)

نريد حساب أكبر عامل مشترك (Greatest Common Factor) بين الأعداد 8 و 12 و 24، وكذلك أقل مضاعف مشترك (Least Common Multiple) بينها، ثم نجمع بين القيمتين.

للبداية، دعنا نحسب العامل المشترك الأكبر. يمكننا أولاً ملاحظة أن 8 و 12 و 24 جميعها تقبل القسمة على 8 و 12 و 24. لنبدأ بعملية تقسيم الأعداد الثلاثة على أكبر عدد ممكن:

8 ÷ 8 = 1
12 ÷ 8 = 1.5
24 ÷ 8 = 3

بالنظر إلى النتائج، نرى أن 8 هو العامل المشترك الأكبر بين هذه الأعداد.

الآن، دعونا نحسب أقل مضاعف مشترك. يمكننا استخدام العامل المشترك الأكبر الذي حسبناه للقيام بذلك. نضرب العامل المشترك الأكبر في العدد الذي يظهر مرة واحدة على الأقل في كل عدد:

$8 \times 1 = 8$
$12 \times 1.5 = 18$
$24 \times 3 = 72$

الآن، نحسب القيمة الأصغر التي تظهر في جميع الأعداد، وهي 8.

لذا، $A = 8$ و $B = 8$.

وبما أننا نريد قيمة $A + B$، فإن الإجابة هي:

$A + B = 8 + 8 = 16$.

لحل المسألة وحساب قيمة أكبر عامل مشترك وأقل مضاعف مشترك للأعداد المعطاة (8، 12، 24)، نحتاج إلى فهم بعض القوانين والمفاهيم الأساسية في العمليات الحسابية.

1. أكبر عامل مشترك (Greatest Common Factor – GCF):

   • يمثل العدد الأكبر الذي يقسم الأعداد المعطاة بدون بقايا.
   • يتم حسابه عن طريق تحليل العددين للعثور على العوامل المشتركة لهما، ثم اختيار أكبر عامل مشترك لهما.

2. أقل مضاعف مشترك (Least Common Multiple – LCM):

   • يمثل أصغر عدد يمكن أن تقسم إليه جميع الأعداد المعطاة دون بقايا.
   • يمكن حسابه عن طريق ضرب الأعداد مع بعضها البعض وقسمة الناتج على العامل المشترك الأكبر للأعداد.

الآن، دعونا نحل المسألة خطوة بخطوة باستخدام هذه القوانين:

أولاً، لحساب العامل المشترك الأكبر (GCF):

• نبدأ بتحليل الأعداد 8 و 12 و 24 للعثور على العوامل المشتركة لها.
• نجد أن 8 = 2 × 2 × 2، 12 = 2 × 2 × 3، و 24 = 2 × 2 × 2 × 3.
• يحتوي العامل المشترك الأكبر لهذه الأعداد على أعداد مشتركة تظهر في كل منها، وهو 2 × 2 × 2 = 8.

ثانياً، لحساب العدد الأصغر المشترك (LCM):

• نحسب المضاعفات لكل عدد باستخدام العامل المشترك الأكبر، ثم نختار الأصغر منها.
• لـ 8، نجد 8، 16، 24، 32، 40، 48، 56، 64، 72، …
• لـ 12، نجد 12، 24، 36، 48، 60، 72، …
• لـ 24، نجد 24، 48، 72، …
• أصغر عدد مشترك هو 24.

لذا، العامل المشترك الأكبر (GCF) بين 8 و 12 و 24 هو 8، والعدد الأصغر المشترك (LCM) هو 24.

أخيراً، للحصول على الإجابة:
$A + B = 8 + 24 = 32$.

في الحل، استخدمنا قوانين العوامل والمضاعفات وتحليل الأعداد للوصول إلى الإجابة النهائية.