حساب أقل قيمة لـ k بشرط 0.00010101 x 10^k > 100

إذا كانت $k$ عددًا صحيحًا وإذا كان المُعبِّر العلمي $0.00010101 \times 10^k$ أكبر من 100، فما هو أقل قيمة ممكنة لـ $k$؟

لنقم بحساب القيمة الدنيا لـ $k$، يجب أن نجعل $0.00010101 \times 10^k$ أكبر من 100 وفي نفس الوقت نختار أقل قيمة لـ $k$. لحل هذه المعادلة، نقوم بقسم 100 على $0.00010101$ للحصول على القيمة الدنيا لـ $k$.

$k = \frac{100}{0.00010101}$

الآن، نقوم بحساب هذه القيمة بالقسمة للوصول إلى الناتج النهائي.

$k = \frac{100}{0.00010101} \approx 990099$

إذاً، القيمة الدنيا لـ $k$ هي تقريباً 990099.

لنقم بحل هذه المسألة بشكل أكثر تفصيلًا، سنستخدم القوانين الرياضية والحسابية. المعادلة التي نحتاج إلى حلها هي:

$0.00010101 \times 10^k > 100$

لنقم بحساب القيمة الدنيا لـ $k$، يجب علينا تقدير القيمة الصحيحة للتعبير $0.00010101 \times 10^k$ لجعله أكبر من 100.

أولاً، لنفك التعبير العلمي:

$0.00010101 \times 10^k = 1.0101 \times 10^{-4} \times 10^k$

ثم يمكننا دمج الأسس:

$1.0101 \times 10^{-4} \times 10^k = 1.0101 \times 10^{k-4}$

الآن نعين الحد الأدنى للقيمة لجعلها أكبر من 100:

$1.0101 \times 10^{k-4} > 100$

نقوم بقسم كلا الجانبين على $1.0101$ للتحقق من القيمة الدنيا لـ $k$:

$10^{k-4} > \frac{100}{1.0101}$

لتبسيط الأمور، نقوم بتقريب القيمة:

$10^{k-4} > 99$

الآن، للعثور على قيمة $k$، نأخذ اللوغاريتم العشري للجانبين:

$k – 4 > \log_{10} 99$

الآن، نضيف 4 إلى كلا الجانبين:

$k > \log_{10} 99 + 4$

حاسبًا القيمة، نحصل على:

$k > 2.9957 + 4$

$k > 6.9957$

بما أن $k$ يجب أن يكون عددًا صحيحًا، نقوم بتقريب القيمة لأقرب عدد صحيح أكبر:

$k \geq 7$

إذاً، القيمة الدنيا لـ $k$ التي تجعل التعبير $0.00010101 \times 10^k$ أكبر من 100 هي 7.

القوانين المستخدمة:

1. خواص الأسس واللوغاريتمات.
2. قوانين الجمع والطرح في حلول المعادلات.
3. تقريب القيم لتبسيط الحسابات.