حساب أقصى قيمة باستخدام النظرية الثنائية (مسألة رياضيات)

عند توسيع $(1+0.2)^{1000}$ باستخدام النظرية الثنائية، نحصل على
${1000 \choose 0}(0.2)^0+{1000 \choose 1}(0.2)^1+{1000 \choose 2}(0.2)^2+\cdots+{1000 \choose 1000}(0.2)^{1000}= A_0 + A_1 + A_2 + \cdots + A_{1000},$
حيث $A_k = {X \choose k}(0.2)^k$ للقيم $k = 0,1,2,\ldots,1000.$ السؤال يطلب التحقق من القيمة التي يكون فيها $A_k$ الأكبر.

إذا كنا نعلم أن الإجابة على السؤال السابق هي 166، فإن القيمة المطلوبة للمتغير المجهول $X$ هي 166.

نبدأ بتوسيع $(1+0.2)^{1000}$ باستخدام النظرية الثنائية:

$(1+0.2)^{1000} = \binom{1000}{0}(0.2)^0 + \binom{1000}{1}(0.2)^1 + \binom{1000}{2}(0.2)^2 + \ldots + \binom{1000}{1000}(0.2)^{1000}.$

الآن نقوم بتجزئة هذا الفحص باستخدام مفهوم القوانين الثنائية:

$\binom{1000}{0}(0.2)^0 + \binom{1000}{1}(0.2)^1 + \binom{1000}{2}(0.2)^2 + \ldots + \binom{1000}{1000}(0.2)^{1000} = A_0 + A_1 + A_2 + \ldots + A_{1000}.$

حيث $A_k = \binom{X}{k}(0.2)^k$.

الآن، السؤال هو: لأي قيمة من $k$ تكون $A_k$ الأكبر؟

إذاً، نعلم أن هذه القيمة هي 166. لتحديد قيمة $X$، نستخدم العلاقة $X = k$، حيث $k$ هو القيمة التي تجعل $A_k$ الأكبر.

لحساب قيمة $X$، نستخدم قاعدة اختيار القيمة الأكبر لـ $A_k$، وهي $k = 166$. إذاً، القيمة المطلوبة لـ $X$ هي 166.

القوانين المستخدمة في الحل هي قاعدة القوانين الثنائية واستخدام مفهوم الاختيار في تحديد القيمة الأكبر.