حساب أطوال في مضلع منتظم (مسألة رياضيات)

نعطيك مسألة حسابية تتعلق بمضلع منتظم مع مستطيلات مدرجة داخله:

نراعي في المثلثات أنها تتقاطع في نقطة الوسط وهي نقطة الوسط هنا بين النقاط موجودة بسبب المثلثات القائمة على بعضها. في المضلع منتظم، تكون نقطة الوسط للضلع هي نفسها مركز الشكل.

نعلم أن قطر المضلع منتظم يقسمه إلى مثلثين متطابقين، وأن قطر المضلع منتظم يكون أيضًا متجاورًا لمثلث قائم الزاوية، وبالتالي يقسم المثلث إلى مثلثين متطابقين أيضًا.

الطول المطلوب هو $AO + AQ + AR$.

حيث أن $AO$ يمثل نصف القطر للمضلع، وهو يساوي مسافة من المركز إلى أحد رؤوس المضلع، ونلاحظ أنه يكون مشتركًا في مثلث قائم الزاوية، إذًا:
$AO = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$

الآن، لحساب $AQ$ و $AR$، نحتاج إلى معرفة طول الضلع من المضلع المنتظم.

لنوجه اهتمامنا إلى المثلثات القائمة اللتين يشكلانهما القطر الممتد. يكون طول القطر نصف طول الضلع للمضلع المنتظم. بالتالي، طول الضلع يكون $2$.

نظرًا لأن $AQ$ هو قطر متجاور لمثلث قائم الزاوية، فإنه يقسم المثلث إلى مثلثين متطابقين، وكلاهما يكون متطابقًا مع المثلث $ABO$. بالتالي،
$AQ = \frac{1}{2} \times 2 = 1$

وبنفس الطريقة، $AR$ هو قطر متجاور للمثلث الآخر، والذي يشكل مع $AO$ مثلثاً قائم الزاوية، ولذا يكون طوله أيضًا $1$.

إذاً،
$AO + AQ + AR = \frac{1}{2} + 1 + 1 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$

لكن المعلومة المعطاة في السؤال تقول إن قيمة الجملة السابقة تساوي $4$. إذاً:
$\frac{1}{2} + X = 4$
$X = 4 – \frac{1}{2} = \frac{8}{2} – \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$

إذاً، قيمة المتغير $X$ هي $\frac{7}{2}$.

بالطبع، دعني أوضح المسألة بشكل أكثر تفصيلًا وأذكر القوانين المستخدمة في الحل.

المسألة تتعلق بمضلع منتظم، ونحن مهتمون بحساب مجموع بعض الأطوال داخل هذا المضلع.

1. مضلع منتظم (المنظمية):
   يعني هذا أن لدينا مضلع له جميع الأضلاع متساوية الطول وجميع الزوايا متساوية القياس. في هذه الحالة، الزاويا الداخلية للمضلع تساوي 108 درجات، لأن مجموع زوايا مضلع منتظم يُعطى بالعلاقة: $(n – 2) \times 180$ حيث $n$ هو عدد الأضلاع، وهنا $n = 5$.

2. مركز المضلع والقطر:
   في مضلع منتظم، يتموضع مركز المضلع (مركز الدوران) في نقطة تقاطع القطرات (الأقطار)، وهو مركز التناظر والتوازن للمضلع. القطر هو خط يربط بين نقطتين متقاطعتين على حدود المضلع ويمر عبر مركز المضلع.

3. مثلثات قائمة الزاوية:
   عند رسم قطر للمضلع منتظم، يتشكل مثلث قائم الزاوية على حدود المضلع.

4. خصائص المثلثات المتشابهة:
   المثلثات المتشابهة تكون لها نسبة متناسبة بين أضلاعها وزواياها. في هذه المسألة، نستفيد من خصائص المثلثات المتشابهة لحساب أطوال الأضلاع.

الآن، بالنظر إلى الحل:

1. حساب $AO$:
   $AO$ هو نصف قطر المضلع. بما أن المضلع منتظم والقطر يمر عبر مركز المضلع، فإن $AO$ يساوي نصف طول أحد أضلاع المضلع، والذي هو 1 وحدة.

2. حساب $AQ$ و $AR$:
   لحساب $AQ$ و $AR$، نستفيد من خصائص المثلثات المتشابهة. $AQ$ و $AR$ هما أطوال قطرين لمثلثين قائمي الزاوية، وكلاهما متشابه مع المثلث $ABO$. بما أن طول الضلع هو 2 و $AQ$ و $AR$ يمثلان نصف هذا الضلع، فإن قيمتهما تساوي 1 وحدة.

3. حساب $X$:
   السؤال يعطينا أن الجمع بين $AO$ و $AQ$ و $AR$ يساوي 4. إذاً، $X$ يكون الفرق بين هذا المجموع وقيمة $AO$، أي $X = 4 – \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$ وحدة.

بهذا الشكل، نحصل على القيم المطلوبة وفقًا للمعطيات المعطاة في المسألة.