حساب أصغر قيمة لعدد صحيح (مسألة رياضيات)

إذا كانت الأعداد 2^5، 3^3، و14^2 هي عوامل لحاصل ضرب 936 في عدد صحيح موجب w، فما هو أصغر قيمة ممكنة لـ w؟

لنبدأ بإعادة صياغة المسألة بشكل مختصر:

إيجاد أصغر قيمة للعدد الصحيح الموجب w، حيث تكون 2^5، 3^3، و14^2 عوامل لحاصل ضرب 936 في w.

الحل:

نبدأ بحساب حاصل ضرب 936 في العوامل المعطاة:

936 * 2^5 * 3^3 * 14^2

للوصول إلى أصغر قيمة ممكنة لـ w، نحاول تحليل الأعداد المستخدمة في الضرب إلى أوجه رئيسية. يمكننا ملاحظة أن 2^5 تحتوي على عاملين من كل عدد من أعداد 2 و5، و3^3 تحتوي على ثلاثة عوامل من العدد 3. كما أن 14^2 يمكن تحليلها إلى 2^2 * 7^2.

الآن نقوم بتجميع الأوجه الرئيسية للأعداد:

2^(5+2) * 3^3 * 7^2

= 2^7 * 3^3 * 7^2

وبما أننا نريد الوصول إلى أصغر قيمة لـ w، نقوم بتحديد أصغر قيم ممكنة لكل عامل:

w = 2^7 * 3^3 * 7^2

w = 128 * 27 * 49

w = 176,256

إذا كانت القيمة المطلوبة لـ w تكون 176,256.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتحليل الأعداد الأساسية وتطبيق القوانين الرياضية المناسبة. الهدف هو الوصول إلى تمثيل أصغر قيمة ممكنة للعدد w باستخدام العوامل المعطاة.

القوانين المستخدمة:

1. قانون الأعداد الأسية: $a^{m+n} = a^m * a^n$
2. قانون الضرب: $a * b = b * a$
3. قانون التحليل الأولي للأعداد: تحليل الأعداد إلى عواملها الأساسية.

لنقم بتحليل الأعداد المعطاة وتمثيلها بشكل أبسط:

الآن، نقوم بتجميع هذه الأوجه الرئيسية للعدد:

$w = 2^5 * 3^3 * 14^2 = 32 * 27 * 196$

ثم نطبق قانون الضرب لتبسيط العملية:

$w = (2 * 3)^5 * 3^3 * (2 * 7)^2$

ومن ثم نستخدم قانون الأعداد الأسية:

$w = 2^5 * 3^5 * 7^2$

أخيرًا، نستخدم هذه القيم للحصول على أصغر قيمة ممكنة لـ w:

$w = 32 * 243 * 49$

$w = 384,768$

لكن يجب ملاحظة أن هذه القيمة ليست الأصغر بما أننا نستخدم 14^2 في التحليل. لذلك، نقوم بإيجاد أصغر تمثيل للعدد باستخدام 14:

$w = 2^5 * 3^3 * 14$

$w = 32 * 27 * 14$

$w = 12,096$

إذا كانت أصغر قيمة ممكنة لـ w هي 12,096.