حساب أصغر قوة لتجاوز

المسألة الرياضية:

ما هو أصغر عدد صحيح k بحيث يكون 64^k أكبر من 4^20؟

الحل:

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى مقارنة الأسس وفهم القوانين المتعلقة بالأسس. يمكننا بسهولة تمثيل الأعداد المعطاة بشكل متجانس باستخدام القاعدة الأسية للأعداد:

$64^k = (2^6)^k = 2^{6k}$

$4^{20} = (2^2)^{20} = 2^{40}$

الآن نقارن بين الأسين:

$2^{6k} > 2^{40}$

لأن القاعدة (2) هي نفسها في كلا الحالتين، يمكننا مقارنة الأسس:

$6k > 40$

الآن نقوم بحساب قيمة k:

$k > \frac{40}{6}$

$k > \frac{20}{3}$

يجب على k أن يكون عدد صحيح، لذا نتجاوز الكسر ونأخذ أقل عدد صحيح أكبر:

$k = 7$

إذا كان k يساوي 7، فإن $64^k$ سيكون أكبر من $4^{20}$.

بالتأكيد، دعنا نستكشف المسألة بمزيد من التفصيل ونراجع القوانين المستخدمة في الحل.

المسألة تطلب منا البحث عن أصغر عدد صحيح k حيث يكون $64^k$ أكبر من $4^{20}$. لفهم هذا، نقوم بتحويل الأعداد إلى قوى أسية باستخدام القوانين التالية:

1. قاعدة الأس السالب:
   $(a^m)^n = a^{mn}$

2. تبسيط القوى السالبة:
   $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

3. المقارنة بين القوى:
   إذا كانت $a^m > a^n$ و $b > 1$، فإن $a^{mb} > a^{nb}$

في هذه المسألة، نقوم بتمثيل $64^k$ و $4^{20}$ كما يلي:

$64^k = (2^6)^k = 2^{6k}$

$4^{20} = (2^2)^{20} = 2^{40}$

نستخدم القاعدة (1) لتمثيل $64^k$ بشكل مبسط، ونستخدم القاعدة (3) للمقارنة بين القوى:

$2^{6k} > 2^{40}$

ثم نستخدم القاعدة (2) لتبسيط القوى السالبة:

$6k > 40$

وأخيرًا، نقوم بحساب قيمة k:

$k > \frac{40}{6}$

$k > \frac{20}{3}$

ونعتبر أن k يجب أن يكون عددًا صحيحًا، لذا نتجاوز الكسر ونأخذ أقل عدد صحيح أكبر:

$k = 7$

بهذا، نكون قد وجدنا أن أصغر قيمة صحيحة لـ k هي 7، حيث $64^7$ أكبر من $4^{20}$.