مسائل رياضيات

حساب أدنى قيمة لـ x في f(f(x)) (مسألة رياضيات)

الدالة المعطاة: f(x)=x3f(x) = \sqrt{x – 3}

نبحث عن أصغر عدد حقيقي xx يندرج ضمن نطاق الدالة f(f(x))f(f(x)).

لحساب ذلك، نبدأ بحساب f(x)f(x) ثم نستخدم النتيجة لحساب f(f(x))f(f(x)):

  1. حساب f(x)f(x):

f(x)=x3f(x) = \sqrt{x – 3}

  1. حساب f(f(x))f(f(x)):

f(f(x))=f(x3)=x33f(f(x)) = f(\sqrt{x – 3}) = \sqrt{\sqrt{x – 3} – 3}

الآن، نضع قيمة f(x)f(x) في f(f(x))f(f(x)) ونحسب النتيجة:

x33\sqrt{\sqrt{x – 3} – 3}

نقوم بتحليل هذه الوظيفة للعثور على أصغر قيمة ممكنة لـ xx. يجب أن تكون القيمة داخل الجذر الخارجي غير سالبة:

x330\sqrt{x – 3} – 3 \geq 0

نضيف 33 إلى الجانبين:

x33\sqrt{x – 3} \geq 3

ثم نرفع كل طرف إلى الأساس 22:

x39x – 3 \geq 9

نضيف 33 إلى الجانبين:

x12x \geq 12

لذا، أصغر عدد حقيقي يمكن أن يكون داخل نطاق f(f(x))f(f(x)) هو x12x \geq 12.

بمعنى آخر، أصغر قيمة ممكنة لـ xx تكون x=12x = 12.

المزيد من المعلومات

نعود إلى المسألة ونقوم بحساب f(x)f(x) ثم f(f(x))f(f(x)):

  1. حساب f(x)f(x):

f(x)=x3f(x) = \sqrt{x – 3}

نطبق قاعدة أساسية للجذور حيث يجب أن تكون قيمة التعبير داخل الجذر موجبة أو تساوي الصفر:

x30x – 3 \geq 0

x3x \geq 3

لذا، نطبق هذه القاعدة للتأكد من أن xx يندرج ضمن نطاق الدالة f(x)f(x)، وهو x3x \geq 3.

  1. حساب f(f(x))f(f(x)):

f(f(x))=f(x3)=x33f(f(x)) = f(\sqrt{x – 3}) = \sqrt{\sqrt{x – 3} – 3}

لتحديد النطاق الممكن لـ xx في f(f(x))f(f(x))، نستخدم القاعدة التي تفرض أن القيمة داخل الجذر الخارجي يجب أن تكون غير سالبة:

x330\sqrt{x – 3} – 3 \geq 0

نضيف 33 إلى الجانبين:

x33\sqrt{x – 3} \geq 3

ثم نرفع كل طرف إلى الأساس 22:

x39x – 3 \geq 9

نضيف 33 إلى الجانبين:

x12x \geq 12

لذا، يجب أن يكون x12x \geq 12 لكي يندرج ضمن نطاق f(f(x))f(f(x)).

للتأكد من أن xx في الواقع يندرج ضمن نطاق كلا الدالتين، نجمع متطلباتهما:

x3x \geq 3 (من نطاق f(x)f(x))

x12x \geq 12 (من نطاق f(f(x))f(f(x)))

لذا، يجب أن يكون x12x \geq 12 لضمان أن xx يكون في نطاق كلتا الدالتين.

قوانين استخدمناها:

  1. قوانين الجذور:

    • قيمة التعبير داخل الجذر يجب أن تكون غير سالبة.
    • جذر رقم حقيقي يكون غير سالب.
  2. القاعدة الأساسية للجذور:

    • إذا كان a2=ba^2 = b، فإن a=ba = \sqrt{b} أو a=ba = -\sqrt{b}.
  3. قوانين المعادلات:

    • يمكن إضافة أو طرح نفس القيمة من الطرفين دون تأثير على حلول المعادلة.
  4. قوانين النطاق:

    • للدوال التي تحتوي على جذور، يجب مراعاة نطاق القيم التي يمكن أن تكون داخل الجذور.