حساب $\tan 60^\circ$ باستخدام قانون النسب (مسألة رياضيات)

حسنًا، سنقوم بحساب قيمة التمام لزاوية $60$ درجة باستخدام الدالة التمامية للزاوية، والتي تُمثل في هذه الحالة الظل المقابل على الضلع المقابل للزاوية. إننا نعلم أن $\tan \theta$ يُعرف كنسبة الطول المقابل للزاوية إلى الطول المجاور لها في المثلث القائم.

لنفترض وجود مثلث قائم الزاوية، حيث تكون الزاوية المقابلة لنا $60$ درجة. سنتخذ الضلع المجاور لهذه الزاوية والذي يكون قاعدة المثلث، ولنُسميه ب $A$، بينما سيكون الضلع المقابل للزاوية (الظل الذي نحتاج إليه) هو الارتفاع الذي سنُسميه بـ $B$. سيكون الضلع الفاصل بين الزاوية والزاوية القائمة، والذي يُشير إلى الشيء الغير معروف، سنسميه $C$.

الآن، بما أننا نعلم أن $\tan \theta = \frac{\text{الطول المقابل}}{\text{الطول المجاور}}$، يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$\tan 60^\circ = \frac{B}{A}$

حيث $\tan 60^\circ$ هو الشيء الذي نريد حسابه.

إلينا المثلث، حيث قاعدته $A$ وارتفاعه $B$، ونعلم أن الزاوية المقابلة لـ $60$ درجة، يمكننا استخدام مثلث $30-60-90$ الذي يعتبر قائم الزاوية أيضًا. في هذا المثلث، نعلم أن النسبة بين الضلع المقابل للزاوية $60$ درجة (الارتفاع) والضلع المجاور لها (القاعدة) هي $\sqrt{3} : 1$.

إذاً:

$\tan 60^\circ = \frac{B}{A} = \frac{\text{الارتفاع}}{\text{القاعدة}} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

لذلك، قيمة $\tan 60^\circ$ هي $\sqrt{3}$.

بالطبع، سنقوم بتقديم تفاصيل أكثر لحل المسألة وسنُذكر القوانين التي تم استخدامها.

لحساب قيمة $\tan 60^\circ$، سنعتمد على مثلث قائم الزاوية مع الزاوية المعطاة والمقابلة لها تكون $60$ درجة. في هذا السياق، نستخدم مثلث $30-60-90$، وهو مثلث قائم الزاوية حيث تكون الزاوية القائمة $90$ درجة، الزاوية المعطاة $60$ درجة، والزاوية المتبقية $30$ درجة.

القانون الأساسي الذي نعتمد عليه في هذا الحل هو قانون النسب في مثلث $30-60-90$. في هذا النوع من المثلث، إذا كانت الزاوية المقابلة للضلع الصغير (الضلع المقابل للزاوية المعطاة، في حالتنا الزاوية $60$ درجة) تساوي $x$، فإن الضلع المجاور لها يكون $x\sqrt{3}$، والضلع القائم (قاعدة المثلث) يكون $2x$.

في حالتنا:

• الضلع المقابل للزاوية $60$ درجة (الارتفاع في المثلث) يُمثله $B$.
• الضلع المجاور لها (القاعدة في المثلث) يُمثله $A$.

وفقًا للقانون، يكون النسبة بين $B$ و $A$ هي $\sqrt{3} : 1$.

$\frac{B}{A} = \frac{\text{الضلع المقابل للزاوية}}{\text{الضلع المجاور لها}} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

إذاً، قيمة $\tan 60^\circ$ هي $\sqrt{3}$.

المفتاح الرئيسي هو استخدام قانون النسب في مثلث $30-60-90$، حيث نتعلم أن النسبة بين الضلعين المقابلين للزوايا $30$ و $60$ درجة هي $\sqrt{3} : 1$.