حساب Determinate لمصفوفة الدوران (مسألة رياضيات)

المطلوب هو إيجاد determinate للمصفوفة $\mathbf{R}$ التي تمثل دورانا حول الأصل بزاوية $58^\circ$ في اتجاه عقارب الساعة. للقيام بذلك، سنستخدم مصفوفة الدوران ثنائية الأبعاد. المصفوفة $\mathbf{R}$ تأخذ صورة الشكل:

حيث تعبر $\cos 58^\circ$ عن الجيب القائم للزاوية $58^\circ$ و $\sin 58^\circ$ عن الجيب المجاور لها.

لحساب ال determinate، نستخدم الصيغة التالية:

$\det \mathbf{R} = (\cos 58^\circ)^2 – (-\sin 58^\circ)^2$

ومن ثم نستخدم هوية جيب المزدوجة للحصول على القيمة النهائية:

$\det \mathbf{R} = \cos^2 58^\circ + \sin^2 58^\circ$

وهنا يأتي دور هوية جيب المزدوجة حيث أنها تؤكد أن المصفوفة $\mathbf{R}$ هي مصفوفة دوران مما يعني أنها تحتفظ بالجملة $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta$ لأي زاوية $\theta$.

بما أن $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ لكل قيمة زاوية، فإن:

$\det \mathbf{R} = 1$

وهذا هو الجواب النهائي لتحديد قيمة المصفوفة $\mathbf{R}$.

سنبدأ بحساب المصفوفة $\mathbf{R}$ التي تمثل الدوران حول الأصل بزاوية $58^\circ$ في اتجاه عقارب الساعة. قانون دوران المصفوفات ثنائية الأبعاد يعطينا صيغة المصفوفة $\mathbf{R}$ كالتالي:

حيث $\theta$ هي الزاوية التي سنقوم بدوران المصفوفة حولها. في هذه المسألة، $\theta = 58^\circ$. لذا:

الآن سنحسب ال determinate أو المحدد لهذه المصفوفة. القاعدة الرئيسية هي:

$\det \mathbf{R} = (\cos \theta)^2 – (-\sin \theta)^2$

نستخدم هوية جيب المزدوجة:

$\det \mathbf{R} = \cos^2 58^\circ + \sin^2 58^\circ$

ونعلم أن $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ لأي زاوية $\theta$، لذلك:

$\det \mathbf{R} = 1$

تلك هي القيمة النهائية لل determinate. القانون المستخدم هو قانون دوران المصفوفات ثنائية الأبعاد، والهويات المستخدمة هي هوية جيب المزدوجة وهوية جيب المزدوجة الموسعة.