مسائل رياضيات

حساب determinante لمصفوفة 3×3 بالتفصيل (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 08/01/2024
0

نقوم بحساب قيمة المصفوفة المقطعة 3×3 داخل المصفوفة الأكبر. للقيام بذلك، نستخدم القاعدة التي تنص على أن قيمة المصفوفة الكبيرة تكون مجرد حاصل ضرب قيمة المصفوفة المقطعة العلوية اليسرى في الصف الأول في الصف الثاني وثالث المصفوفة، ثم نقوم بطرح حاصل ضرب المصفوفة المقطعة العلوية المركزية في الصف الأول من المصفوفة، وأخيرًا نضرب ذلك في قيمة المصفوفة المقطعة السفلى اليمنى في الصف الأول من المصفوفة.

بالتالي، يتم تقدير المصفوفة الثلاثية الأبعاد على النحو التالي:

مواضيع ذات صلة

det=(cos⁡αcos⁡β⋅cos⁡β⋅cos⁡α)+(cos⁡αsin⁡β⋅sin⁡α⋅sin⁡α)+(−sin⁡α⋅−sin⁡β⋅sin⁡αcos⁡β)−(−sin⁡αcos⁡β⋅cos⁡β⋅sin⁡α)−(cos⁡αsin⁡β⋅cos⁡α⋅cos⁡β)−(cos⁡αcos⁡β⋅−sin⁡α⋅sin⁡β)\text{det} = (\cos \alpha \cos \beta \cdot \cos \beta \cdot \cos \alpha) + (\cos \alpha \sin \beta \cdot \sin \alpha \cdot \sin \alpha) + (-\sin \alpha \cdot -\sin \beta \cdot \sin \alpha \cos \beta) – (-\sin \alpha \cos \beta \cdot \cos \beta \cdot \sin \alpha) – (\cos \alpha \sin \beta \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta) – (\cos \alpha \cos \beta \cdot -\sin \alpha \cdot \sin \beta)

تكون القيم المتشابهة متبادلة، لذا نقوم بتبسيط التعبير وجمع المصطلحات المتشابهة:

det=cos⁡2αcos⁡2β+cos⁡2αsin⁡2β+sin⁡2αsin⁡2β−cos⁡2αcos⁡2β−cos⁡2αsin⁡2β−sin⁡2αcos⁡2β\text{det} = \cos^2 \alpha \cos^2 \beta + \cos^2 \alpha \sin^2 \beta + \sin^2 \alpha \sin^2 \beta – \cos^2 \alpha \cos^2 \beta – \cos^2 \alpha \sin^2 \beta – \sin^2 \alpha \cos^2 \beta

نتجاهل المصطلحات المتشابهة ونلاحظ أن الباقي هو 00. بالتالي، القيمة النهائية للمصفوفة المقطوعة هي 00.

المزيد من المعلومات

في هذه المسألة، نحن بصدد حساب determinante لمصفوفة 3×3. المصفوفة المعطاة هي:

A=∣cos⁡αcos⁡βcos⁡αsin⁡β−sin⁡α−sin⁡βcos⁡β0sin⁡αcos⁡βsin⁡αsin⁡βcos⁡α∣A = \begin{vmatrix} \cos \alpha \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta & -\sin \alpha \\ -\sin \beta & \cos \beta & 0 \\ \sin \alpha \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta & \cos \alpha \end{vmatrix}

لحساب determinante المصفوفة، سنستخدم القاعدة التالية:

det(A)=a11⋅a22⋅a33+a12⋅a23⋅a31+a13⋅a21⋅a32−a13⋅a22⋅a31−a11⋅a23⋅a32−a12⋅a21⋅a33\text{det}(A) = a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} + a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} + a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32} – a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31} – a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32} – a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33}

حيث aija_{ij} هي عناصر المصفوفة في الصف ii والعمود jj. في المصفوفة AA:

a11=cos⁡αcos⁡β, a12=cos⁡αsin⁡β, a13=−sin⁡αa_{11} = \cos \alpha \cos \beta, \ a_{12} = \cos \alpha \sin \beta, \ a_{13} = -\sin \alpha

a21=−sin⁡β, a22=cos⁡β, a23=0a_{21} = -\sin \beta, \ a_{22} = \cos \beta, \ a_{23} = 0

a31=sin⁡αcos⁡β, a32=sin⁡αsin⁡β, a33=cos⁡αa_{31} = \sin \alpha \cos \beta, \ a_{32} = \sin \alpha \sin \beta, \ a_{33} = \cos \alpha

الآن، نستخدم هذه القيم في القاعدة لحساب القيمة النهائية للمصفوفة:

det(A)=(cos⁡αcos⁡β⋅cos⁡β⋅cos⁡α)+(cos⁡αsin⁡β⋅sin⁡α⋅sin⁡α)+(−sin⁡α⋅−sin⁡β⋅sin⁡αcos⁡β)−(−sin⁡αcos⁡β⋅cos⁡β⋅sin⁡α)−(cos⁡αsin⁡β⋅cos⁡α⋅cos⁡β)−(cos⁡αcos⁡β⋅−sin⁡α⋅sin⁡β)\text{det}(A) = (\cos \alpha \cos \beta \cdot \cos \beta \cdot \cos \alpha) + (\cos \alpha \sin \beta \cdot \sin \alpha \cdot \sin \alpha) + (-\sin \alpha \cdot -\sin \beta \cdot \sin \alpha \cos \beta) – (-\sin \alpha \cos \beta \cdot \cos \beta \cdot \sin \alpha) – (\cos \alpha \sin \beta \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta) – (\cos \alpha \cos \beta \cdot -\sin \alpha \cdot \sin \beta)

القوانين المستخدمة في هذا الحل تتعلق بحساب determinante لمصفوفة 3×3 باستخدام القاعدة المذكورة أعلاه. يجب تعويض القيم في المصفوفة وتنفيذ العمليات الحسابية بناءً على القاعدة للوصول إلى القيمة النهائية.

اخر تحديث 08/01/2024
0