توسيع الضرب في الجبر (مسألة رياضيات)

لنقوم بحساب معامل العبارة $x^2$ في توسيع حاصل ضرب $(ax^3 + 3x^2 – 2x)(bx^2 – 7x – 4)$.

أولاً، سنقوم بتوسيع الحاصل الضربي بإستخدام قاعدة الضرب:

$(ax^3 + 3x^2 – 2x)(bx^2 – 7x – 4)$

$= ax^3 \cdot (bx^2 – 7x – 4) + 3x^2 \cdot (bx^2 – 7x – 4) – 2x \cdot (bx^2 – 7x – 4)$

ثمن نقوم بتوزيع كل عنصر في العبارة على العناصر الأخرى:

$= abx^5 – 7ax^4 – 4ax^3 + 3bx^4 – 21x^3 – 12x^2 – 2bx^3 + 14x^2 + 8x$

الآن، سنقوم بجمع العناصر المتشابهة:

$= abx^5 + (3b – 7a)x^4 + (-2b – 21a)x^3 + (2x^2 – 12)x$

الآن، من المعادلة الناتجة، نستنتج أن المعامل الذي يرافق $x^2$ هو 2.

لحل المسألة وتحديد معامل $x^2$ في توسيع حاصل الضرب $(ax^3 + 3x^2 – 2x)(bx^2 – 7x – 4)$، نستخدم قوانين الجبر وتوسيع الضرب.

1. توسيع الضرب:
   نبدأ بضرب كل عنصر من العبارة الأولى $(ax^3 + 3x^2 – 2x)$ في كل عنصر من العبارة الثانية $(bx^2 – 7x – 4)$.

2. قاعدة التوزيع:
   نستخدم قاعدة التوزيع لضرب كل عنصر من العبارة الأولى في كل عنصر من العبارة الثانية.

3. جمع العبارات المتشابهة:
   بعد التوزيع، نجمع العبارات المتشابهة بنفس الأس، مثل $x^5$، $x^4$، $x^3$، $x^2$، و $x$.

4. تحديد المعامل:
   نحدد المعامل المرافق للعبارة المرادة، في هذه الحالة $x^2$.

تطبيقاً لهذه الخطوات:

نبدأ بتوسيع الضرب:

$(ax^3 + 3x^2 – 2x)(bx^2 – 7x – 4)$

$= ax^3 \cdot (bx^2 – 7x – 4) + 3x^2 \cdot (bx^2 – 7x – 4) – 2x \cdot (bx^2 – 7x – 4)$

نقوم بتوزيع كل عنصر في العبارة على العناصر الأخرى:

$= abx^5 – 7ax^4 – 4ax^3 + 3bx^4 – 21x^3 – 12x^2 – 2bx^3 + 14x^2 + 8x$

الآن، نجمع العناصر المتشابهة:

$= abx^5 + (3b – 7a)x^4 + (-2b – 21a)x^3 + (2x^2 – 12)x$

نلاحظ أن المعامل المرافق ل $x^2$ هو المصطلح $2x^2 – 12$، وبالتالي، المعامل هو 2.

قوانين الجبر والتوسيع المستخدمة هي قواعد أساسية في الجبر والتي تساعد في حل مجموعة واسعة من المسائل الرياضية.