توزيع كرات في صناديق: حلول وتفاصيل (مسألة رياضيات)

تريد معرفة عدد الطرق التي يمكن بها توزيع 4 كرات لا تتميز بينها في 3 صناديق يمكن التمييز بينها. لنقم بحل هذه المسألة.

لنفترض أن لدينا 3 صناديق، سنقوم بتفكيك الحالات الممكنة على النحو التالي:

1. 4 كرات في الصندوق الأول: يوجد طريقة واحدة لذلك.
2. 3 كرات في الصندوق الأول وكرة واحدة في الصندوق الثاني: نحتاج إلى اختيار الكرة الواحدة التي ستكون في الصندوق الثاني من بين 4 كرات، وهنا يكون لدينا 4 خيارات لذلك.
3. 2 كرة في الصندوق الأول و 2 كرة في الصندوق الثاني: يجب اختيار 2 كرات من بين 4 كرات لوضعها في الصندوق الأول، وبما أن الكرات متماثلة، فإن عدد الطرق لهذا الاختيار يساوي الأمران C(4, 2) = 6. وبعد ذلك، يمكننا وضع الكرتين المتبقيتين في الصندوق الثاني بطرق C(2, 2) = 1. وبالتالي، يوجد 6 × 1 = 6 طرق لهذه الحالة.
4. 1 كرة في الصندوق الأول و 3 كرات في الصندوق الثاني: الحالة هنا مماثلة للحالة رقم 2، وبالتالي يوجد 4 طرق لهذه الحالة.
5. 4 كرات في الصندوق الثاني: يوجد طريقة واحدة لذلك.

بعد حساب الحالات المختلفة، يمكننا جمع الطرق معًا:

1 (حالة 1) + 4 (حالة 2) + 6 (حالة 3) + 4 (حالة 4) + 1 (حالة 5) = 16

إذاً، هناك 16 طريقة مختلفة يمكن بها توزيع 4 كرات غير متميزة في 3 صناديق قابلة للتمييز.

لحل مسألة توزيع الكرات في الصناديق، نحن نستخدم مفهوم الاختيارات المتاحة لنا في كل صندوق بالإضافة إلى القوانين المتعلقة بترتيب وتوزيع الأشياء. هنا هي القوانين والتفاصيل المتعلقة بحل المسألة:

1. قانون الاختيار: هذا القانون يحدد عدد الطرق التي يمكن بها اختيار عدد معين من العناصر من بين مجموعة محددة. يستخدم القانون الثلاثي للترتيبات والاختيارات المتاحة ويعبر عنه بمساعدة الدوال الرياضية.

2. الترتيبات والاختيارات: في هذه المسألة، نستخدم الدوال الرياضية لحساب الترتيبات والاختيارات الممكنة. لدينا مفهومان هامان: الترتيبات (Permutations) والاختيارات (Combinations). الترتيبات تهتم بالترتيب المحدد للعناصر، في حين أن الاختيارات لا تهتم بالترتيب.

الآن، دعنا نطبق هذه القوانين والمفاهيم على حل المسألة:

1. الحالة الأولى: وضع 4 كرات في الصندوق الأول فقط. هنا لا يوجد ترتيب خاص، لذا يوجد طريقة واحدة لهذه الحالة.

2. الحالة الثانية: وضع 3 كرات في الصندوق الأول وكرة واحدة في الصندوق الثاني. يمكننا اختيار الكرة الواحدة التي ستكون في الصندوق الثاني من بين 4 كرات، وهنا يكون لدينا 4 خيارات لذلك.

3. الحالة الثالثة: وضع 2 كرة في الصندوق الأول و 2 كرة في الصندوق الثاني. نحتاج إلى اختيار 2 كرات من بين 4 كرات لوضعها في الصندوق الأول، وبما أن الكرات متماثلة، فإن عدد الطرق لهذا الاختيار يساوي الأمران C(4, 2) = 6. وبعد ذلك، يمكننا وضع الكرتين المتبقيتين في الصندوق الثاني بطرق C(2, 2) = 1. وبالتالي، يوجد 6 × 1 = 6 طرق لهذه الحالة.

4. الحالة الرابعة: وضع 1 كرة في الصندوق الأول و 3 كرات في الصندوق الثاني. الحالة هنا مماثلة للحالة رقم 2، وبالتالي يوجد 4 طرق لهذه الحالة.

5. الحالة الخامسة: وضع 4 كرات في الصندوق الثاني فقط. هنا لا يوجد ترتيب خاص، لذا يوجد طريقة واحدة لهذه الحالة.

بعد ذلك، يتم جمع الطرق الممكنة لكل حالة معًا للحصول على الإجابة النهائية.