توزيع الجلوس حول الطاولة (مسألة رياضيات)

لدينا خمسة أشخاص يجلسون حول طاولة دائرية. لنعرف عدد الأشخاص الذين يجلسون بجوار أحد الإناث، نستخدم المتغير $f$ الذي يمثل هذا العدد أو يكون أكبر من الصفر. بالمثل، لنعرف عدد الأشخاص الذين يجلسون بجوار أحد الذكور، نستخدم المتغير $m$ الذي يمثل هذا العدد أو يكون أكبر من الصفر.

لنحسب القيم الممكنة لهذين المتغيرين، نبدأ بوضع شخص في المكان الأول حول الطاولة. بعد ذلك، هناك إمكانيتين لوضع الأفراد الآخرين بحيث يكونوا جالسين بجوار إنثى أو ذكر.

إذا كان الشخص الأول ذكرًا، فإن هناك أربعة أماكن للإناث حول الطاولة. لذا $f = 4$.
وإذا كان الشخص الأول أنثى، فإن هناك أربعة أماكن للذكور حول الطاولة. لذا $m = 4$.

الآن، نحسب القيم الممكنة للزوج $(f,m)$:

• $(4,4)$: أربع إناث جالسات بجوار أربعة ذكور.
• $(4,3)$: أربع إناث جالسات بجوار ثلاثة ذكور.
• $(3,4)$: ثلاث إناث جالسات بجوار أربعة ذكور.
• $(3,3)$: ثلاث إناث جالسات بجوار ثلاثة ذكور.
• $(2,4)$: اثنان إناث جالسان بجوار أربعة ذكور.
• $(2,3)$: اثنان إناث جالسان بجوار ثلاثة ذكور.
• $(1,4)$: إنثى واحدة جالسة بجوار أربعة ذكور.
• $(1,3)$: إنثى واحدة جالسة بجوار ثلاثة ذكور.

إذًا، هناك ثمانية حالات ممكنة للزوج $(f,m)$. وبما أن الإجابة المعطاة للسؤال الأصلي هي 8، فإن القيمة المجهولة $X$ تكون 8 أيضًا.

نحل هذه المسألة باستخدام قاعدة جمع القوى أو قاعدة الجمع. لنحسب عدد الطرق الممكنة لجلوس الأشخاص بجوار بعضهم البعض على الطاولة.

لدينا 5 أشخاص، ولكل شخص اثنان فقط يمكن أن يجلسوا بجواره. لذا، إذا كان هناك شخص في موقع ما، فإن لدينا اثنان خيارين لوضع الشخص الثاني بجواره.

لحل المسألة، نبدأ بوضع شخص في أحد المواقع الخمسة حول الطاولة. ثم، نضع الشخص الثاني بجواره بطريقتين (إما على اليمين أو على اليسار). لنحسب عدد الطرق الممكنة، نستخدم قاعدة الجمع:

عدد الطرق الممكنة = عدد الأشخاص × عدد الطرق لوضع الشخص الثاني بجواره

= 5 أشخاص × 2 طريقة لوضع الشخص الثاني

= 10 طريقة

لكن هذا الحساب يحسب الطرق بدون اعتبار جنس الأشخاص. الآن، لنحسب عدد الطرق التي تحقق شرط المسألة وهو أن يكون هناك شخص واحد على الأقل جالس بجوار إناث وشخص واحد على الأقل جالس بجوار ذكور.

لحساب عدد الطرق التي يكون فيها شخص جالس بجوار إناث، نحسب الطرق التي يكون فيها شخص جالس بجوار ذكور ونطرحها من إجمالي الطرق:

عدد الطرق التي يكون فيها شخص جالس بجوار إناث = إجمالي الطرق – عدد الطرق التي يكون فيها شخص جالس بجوار ذكور

= 10 طرق – (5 أشخاص × 2 طريقة لوضع الشخص الثاني بجوار ذكور)

= 10 طرق – 10 طرق

= 0 طرق

نحصل على عدد الطرق التي تحقق الشرط المطلوب للإجابة على المسألة، وهو 0.

لذا، الإجابة النهائية هي أن عدد الأزواج $(f, m)$ الممكنة هو 0.