تناقض في مسألة الأعداد الصحيحة الإيجابية (مسألة رياضيات)

إذا كانت $a$ عددًا صحيحًا إيجابيًا، وإذا كانت الرقم الواحد في نهاية $a^2$ هو 9، وكان الرقم الواحد في نهاية $(a + 1)^2$ هو 4، فما هو الرقم الواحد في نهاية $(a + 2)^2$؟

لنقم بحل هذه المسألة بطريقة تفصيلية:

إذا كان $a$ عددًا صحيحًا إيجابيًا، فإننا نعلم أن $a^2$ ينتج عددًا ينتهي بالرقم 9 في الواحدات. هذا يعني أن آخر رقمين في $a^2$ هما 09.

الآن، نتأكد من الجزء الثاني من المعطيات. إننا نعلم أن الواحدات في $(a + 1)^2$ تساوي 4. لنفهم ذلك، نقوم بحساب $(a + 1)^2$:

ونعلم أن آخر رقمين في $a^2$ هما 09، لذا نقوم بجمع 2a + 1 ونضيفهم إلى 09. يجب أن ينتهي الناتج بالرقم 4 في الواحدات. إذاً:

ونعلم أن هذا ينتهي بالرقم 4 في الواحدات، لذا يجب أن يكون $10 + 2a$ ينتهي بالرقم 4.

نقوم بحساب ذلك:

لكن نعلم أن $a$ هو عدد صحيح إيجابي، لذا هناك خطأ في الحساب. يبدو أن هناك خطأ في المعطيات.

لذا، لا يمكننا إيجاد قيمة صحيحة لـ $a$ تحقق المعطيات المعطاة في المسألة كما هو.

لحل المسألة، سنستخدم معرفتنا بالقوانين الحسابية والجبر. دعونا نبدأ بتحليل المعطيات:

1. إذا كان $a$ عددًا صحيحًا إيجابيًا، فنعلم أن $a^2$ سينتج عددًا ينتهي بالرقم 9 في الواحدات. يمكننا تعبير ذلك بالصيغة:

   $a^2 = 10n + 9$ حيث $n$ هو عدد صحيح.

2. نعلم أن الواحدات في $(a + 1)^2$ هي 4. لنحسب ذلك:

   $(a + 1)^2 = a^2 + 2a + 1$

   ونعلم أن $a^2$ ينتهي بالرقم 9 في الواحدات، لذا نقوم بإضافة 2a + 1 إلى 9. يجب أن ينتهي الناتج بالرقم 4 في الواحدات. إذاً:

   $2a + 1 + 9 \equiv 4 \pmod{10}$

   هنا استخدمنا مفهوم الناتج المتبقي (modulus) حيث $x \equiv y \pmod{m}$ يعني أن القسمة على $m$ تعطي نفس الباقي.

   إذاً:

   $2a + 10 \equiv 4 \pmod{10}$

   ونقوم بحساب ذلك:

   $2a \equiv -6 \pmod{10}$

   يُلاحظ أن هذا المعادلة لديها حلاً واحدًا وهو $a \equiv -3 \pmod{10}$.

   ولكن بما أن $a$ عدد صحيح إيجابي، فإن هذا الحلا غير ممكن.

بالتالي، يظهر أن هناك تناقض في المعطيات. القوانين المستخدمة هي قوانين الجبر والحساب، بما في ذلك القسمة والناتج المتبقي.