تناسب الأجسام الهندسية في الفضاء

إذا كانت أبعاد مكعب هي 4 بوصات وموجود داخل كرة بالحجم الكافي لاحتواء المكعب، فإن النسبة بين حجم المكعب وحجم الفراغ غير المحتل داخل الكرة تعتمد على النسبة بين حجم المكعب وحجم الكرة.

لحساب حجم المكعب، نستخدم الصيغة: حجم المكعب = الطول × العرض × الارتفاع

حيث:
الطول = 4 بوصات
العرض = 5 بوصات
الارتفاع = 12 بوصة

إذاً، حجم المكعب = 4 × 5 × 12 = 240 بوصة مكعبة.

لحساب حجم الكرة، نستخدم الصيغة: حجم الكرة = (4/3) × π × نصف قطر الكرة^3

ونصف قطر الكرة يكون نصف قطر المكعب، لأن الكرة تحتوي على المكعب بالكامل. لذا نصف قطر الكرة يكون نصف القطر الأطول للمكعب.

نصف قطر الكرة = نصف قطر المكعب = 12 / 2 = 6 بوصات.

إذاً، حجم الكرة = (4/3) × π × 6^3 ≈ 904.78 بوصة مكعبة.

الآن، نحسب الحجم غير المحتل داخل الكرة، وهو الفرق بين حجم الكرة وحجم المكعب.

حجم الفراغ = حجم الكرة – حجم المكعب
≈ 904.78 – 240
≈ 664.78 بوصة مكعبة.

أخيرًا، نحسب النسبة بين حجم المكعب وحجم الفراغ غير المحتل داخل الكرة:

نسبة الحجم = حجم المكعب / حجم الفراغ
= 240 / 664.78
≈ 0.361.

إذاً، النسبة بين حجم المكعب وحجم الفراغ داخل الكرة هي حوالي 0.361.

لحل هذه المسألة، سنقوم بتطبيق عدة خطوات واستخدام بعض القوانين الرياضية. دعونا نستعرض الخطوات والقوانين المستخدمة:

1. حساب حجم المكعب:

   • نستخدم صيغة حجم المكعب: حجم المكعب = الطول × العرض × الارتفاع
   • بوضوح، الأبعاد هي: الطول = 4 بوصات، العرض = 5 بوصات، والارتفاع = 12 بوصة.
   • نحسب الناتج للحصول على حجم المكعب.

2. حساب حجم الكرة:

   • نستخدم صيغة حجم الكرة: حجم الكرة = (4/3) × π × نصف قطر الكرة^3
   • نصف قطر الكرة يكون نصف القطر الأطول للمكعب.
   • نحسب الناتج للحصول على حجم الكرة.

3. حساب حجم الفراغ داخل الكرة:

   • حجم الفراغ = حجم الكرة – حجم المكعب
   • نقوم بطرح حجم المكعب من حجم الكرة للحصول على حجم الفراغ.

4. حساب النسبة:

   • نسبة الحجم = حجم المكعب / حجم الفراغ
   • نستخدم النتائج السابقة للحصول على النسبة.

القوانين المستخدمة:

• صيغة حجم المكعب: $V_{\text{مكعب}} = \text{الطول} \times \text{العرض} \times \text{الارتفاع}$
• صيغة حجم الكرة: $V_{\text{كرة}} = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3$
• حجم الفراغ داخل الكرة: $V_{\text{فراغ}} = V_{\text{كرة}} – V_{\text{مكعب}}$
• نسبة الحجم: $\text{النسبة} = \frac{V_{\text{مكعب}}}{V_{\text{فراغ}}}$

هذه القوانين تعتمد على الهندسة الفضائية والجبر، وتستخدم لحساب حجوم الأجسام الهندسية في الفضاء الثلاثي الأبعاد. يُلاحظ أننا استخدمنا قيم الطول والعرض والارتفاع في حساباتنا واعتمدنا على قيم متعلقة بنصف قطر الكرة.