تمارين على الدالة اللوغارتمية

تمارين على الدالة اللوغارتمية:

الدالة اللوغارتمية هي واحدة من أهم الدوال في الرياضيات التي تلعب دورًا محوريًا في العديد من التطبيقات الرياضية والعلمية. في هذا المقال، سنتناول بشكل مفصل مفهوم الدالة اللوغارتمية، خصائصها، قوانينها، بالإضافة إلى مجموعة من التمارين المتنوعة التي تساعد في فهم واستخدام هذه الدالة بشكل دقيق. سنبدأ من الأساسيات وصولًا إلى التطبيقات الأكثر تعقيدًا التي تتطلب الإلمام الجيد بالدالة اللوغارتمية لحلها.

1. مفهوم الدالة اللوغارتمية:

الدالة اللوغارتمية هي دالة رياضية تُستخدم في العديد من الفروع الرياضية، وتُعتبر معكوسة لدالة الأسس. إذا كانت لدينا دالة أساسية على الشكل $y = a^x$، حيث $a$ هو الأساس و$x$ هو الأس، فإن اللوغاريتم الذي يقابل هذه الدالة هو $x = \log_a y$. يمكننا القول إن اللوغاريتم هو الطريقة العكسية للرفع للأسس.

تعرف اللوغاريتمات بأنها دوال تأخذ شكل $y = \log_a x$ حيث:

• $a$ هو الأساس (ويجب أن يكون $a > 0$ و $a \neq 1$).

• $x$ هو العدد الذي نريد حساب اللوغاريتم له.

• $y$ هو الناتج.

الدالة اللوغارتمية تُستخدم لتحويل العمليات الرياضية المعقدة إلى عمليات أبسط وأسهل في الحساب. هذه الدالة هي من بين الأدوات التي تُستخدم بكثرة في العديد من العلوم مثل الرياضيات، الفيزياء، والهندسة.

2. خصائص الدالة اللوغارتمية:

الدالة اللوغارتمية تتمتع بعدد من الخصائص الأساسية التي تساعد في فهم كيفية عملها واستخدامها:

• الدالة اللوغارتمية تزداد أو تتناقص وفقًا للأساس:

  • إذا كان الأساس $a > 1$، فإن الدالة اللوغارتمية تكون دالة متزايدة. هذا يعني أنه مع زيادة $x$، يزداد $y$.

  • إذا كان الأساس $0 < a < 1$، فإن الدالة تكون دالة متناقصة. أي أن مع زيادة $x$، يقل $y$.

• اللوغاريتم يكون غير معرف عند $x \leq 0$:
  يجب أن يكون $x > 0$ لكي يكون اللوغاريتم معرفًا. هذا يعني أن اللوغاريتم لا يمكن حسابه لأعداد سالبة أو صفر.

• اللوغاريتمات لبعض الأساسيات الخاصة:

  • $\log_a 1 = 0$ لأي أساس $a$ (بشرط أن $a > 0$).

  • $\log_a a = 1$ لأي أساس $a > 0$.

  • $\log_a x$ تزداد بسرعة أكبر عندما يكون الأساس $a$ أكبر.

3. قوانين الدالة اللوغارتمية:

توجد عدة قوانين أساسية تُستخدم لتبسيط العمليات الحسابية باستخدام اللوغاريتمات. هذه القوانين مهمة جدًا لأنها تتيح لنا تحويل الدوال المعقدة إلى صيغ أبسط.

3.1 قاعدة جمع اللوغاريتمات:

إذا كان لدينا $\log_a x + \log_a y$، فإن هذا يُمكن تبسيطه باستخدام قاعدة الجمع كالآتي:

$$\log_a (x \cdot y)$$

3.2 قاعدة طرح اللوغاريتمات:

إذا كان لدينا $\log_a x – \log_a y$، فإن هذا يُمكن تبسيطه باستخدام قاعدة الطرح كالآتي:

$$\log_a \left( \frac{x}{y} \right)$$

3.3 قاعدة ضرب اللوغاريتم في ثابت:

إذا كان لدينا $c \cdot \log_a x$، حيث $c$ ثابت، فإن هذا يُمكن تبسيطه كالتالي:

$$\log_a (x^c)$$

3.4 قاعدة تحويل الأساس:

يمكن تحويل لوغاريتم من أساس إلى أساس آخر باستخدام قاعدة تحويل الأساس:

$$\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$$

4. تمارين متنوعة على الدالة اللوغارتمية:

تمرين 1:

حل المعادلة اللوغارتمية التالية:

$$\log_2 x = 5$$

لحل هذه المعادلة، نُحول اللوغاريتم إلى معادلة أسية. هذا يعني:

$$x = 2^5$$

إذن:

$$x = 32$$

تمرين 2:

استخدم قاعدة جمع اللوغاريتمات لحل المعادلة:

$$\log_3 x + \log_3 4 = 2$$

باستخدام قاعدة جمع اللوغاريتمات، ندمج اللوغاريتمين في لوغاريتم واحد:

$$\log_3 (x \cdot 4) = 2$$

وبعدها نتحول إلى معادلة أسية:

$$x \cdot 4 = 3^2$$

إذن:

$$x \cdot 4 = 9 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{9}{4}$$

إذن $x = 2.25$.

تمرين 3:

حل المعادلة اللوغارتمية:

$$\log_5 (2x + 1) = 3$$

نحوّل المعادلة إلى معادلة أسية:

$$2x + 1 = 5^3$$

ثم نوجد قيمة $5^3$:

$$2x + 1 = 125$$

الآن، نحل المعادلة:

$$2x = 125 – 1 = 124$$
$$x = \frac{124}{2} = 62$$

إذن، $x = 62$.

تمرين 4:

استخدم قاعدة تحويل الأساس لحساب اللوغاريتم:

$$\log_2 8$$

يمكننا استخدام قاعدة تحويل الأساس:

$$\log_2 8 = \frac{\log_{10} 8}{\log_{10} 2}$$

نحسب القيم:

$$\log_{10} 8 \approx 0.903 \quad \text{و} \quad \log_{10} 2 \approx 0.301$$

إذن:

$$\log_2 8 = \frac{0.903}{0.301} \approx 3$$

إذن، $\log_2 8 = 3$.

تمرين 5:

حل المعادلة اللوغارتمية:

$$\log_3 (x + 3) – \log_3 (x – 1) = 1$$

باستخدام قاعدة طرح اللوغاريتمات، ندمج اللوغاريتمات في لوغاريتم واحد:

$$\log_3 \left( \frac{x + 3}{x – 1} \right) = 1$$

نحوّل المعادلة إلى معادلة أسية:

$$\frac{x + 3}{x – 1} = 3^1$$

إذن:

$$\frac{x + 3}{x – 1} = 3$$

نحل المعادلة:

$$x + 3 = 3(x – 1)$$
$$x + 3 = 3x – 3$$
$$3 + 3 = 3x – x$$
$$6 = 2x$$
$$x = 3$$

إذن، $x = 3$.

تمرين 6:

حل المعادلة:

$$\log_2 x + \log_2 (x + 2) = 3$$

باستخدام قاعدة جمع اللوغاريتمات:

$$\log_2 \left( x \cdot (x + 2) \right) = 3$$

نحوّل المعادلة إلى معادلة أسية:

$$x \cdot (x + 2) = 2^3$$

إذن:

$$x \cdot (x + 2) = 8$$

نوسع المعادلة:

$$x^2 + 2x = 8$$

نقلل جميع الحدود إلى جهة واحدة:

$$x^2 + 2x – 8 = 0$$

نحل المعادلة التربيعية باستخدام الصيغة العامة:

$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 – 4(1)(-8)}}{2(1)}$$
$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$$
$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2}$$
$$x = \frac{-2 \pm 6}{2}$$

إذن:

$$x = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \quad \text{أو} \quad x = \frac{-2 – 6}{2} = -4$$

لكن بما أن $x$ يجب أن يكون أكبر من صفر، نأخذ الحل $x = 2$.

5. الخلاصة:

الدالة اللوغارتمية هي أداة رياضية قوية ذات العديد من التطبيقات في العديد من المجالات العلمية. فهم القوانين الأساسية لهذه الدالة وحل التمارين المتعلقة بها يساعد في تسهيل العديد من العمليات الرياضية المعقدة.