تمارين الفائدة المركبة المحلولة

تمارين محلولة حول الفائدة المركبة

الفائدة المركبة هي إحدى المواضيع الأساسية في الرياضيات المالية، حيث تعتمد على حسابات معقدة تستخدم في العديد من التطبيقات الاقتصادية، مثل حساب الأرباح في البنوك، قروض التمويل، والاستثمارات. الفائدة المركبة تتعامل مع الفائدة المحسوبة على المبلغ الأصلي والمبالغ الناتجة عن الفائدة التي تم إضافتها على المبلغ الأساسي. يمكن اعتبارها طريقة حسابية تسمح بنمو الأموال بمعدل متسارع، نتيجة لضمان إضافة الفائدة إلى رأس المال.

تعريف الفائدة المركبة

الفائدة المركبة هي الفائدة التي تُحسب على المبلغ الأصلي المودع أو المقترض، بالإضافة إلى الفائدة التي تُضاف بالفعل إلى هذا المبلغ، وهذا يعني أن الفائدة المحسوبة في المدة الزمنية التالية ستأخذ في اعتبارها الفائدة السابقة. هذا النوع من الفائدة يعتبر أكثر تعقيدًا مقارنة بالفائدة البسيطة حيث تضاف الفائدة إلى المبلغ الأصلي فقط، ولا تُأخذ في الحسبان الفوائد المضافة سابقًا.

الفائدة المركبة تُحتسب بناءً على الصيغة التالية:

$$A = P \left( 1 + \frac{r}{n} \right)^{nt}$$

حيث:

• $A$ هو المبلغ النهائي (رأس المال بالإضافة إلى الفائدة).

• $P$ هو المبلغ الأصلي (رأس المال).

• $r$ هو معدل الفائدة السنوي.

• $n$ هو عدد مرات إضافة الفائدة في السنة.

• $t$ هو عدد السنوات.

تظهر الفائدة المركبة قوتها في الحالات التي تكون فيها الفائدة تضاف بشكل دوري (شهريًا أو سنويًا) حيث تجعل المبلغ يتزايد بشكل متسارع.

تمارين محلولة حول الفائدة المركبة

لنأخذ مجموعة من التمارين المحلولة لفهم كيفية تطبيق الفائدة المركبة في الحياة العملية.

التمرين 1: حساب الفائدة المركبة لودائع بنكية

السؤال: إذا قام شخص بإيداع 5000 ريال في بنك يعرض فائدة مركبة بنسبة 6% سنويًا، وقام البنك بإضافة الفائدة بشكل سنوي. ما هو المبلغ النهائي بعد 5 سنوات؟

الحل:

• المبلغ الأصلي ($P$) = 5000 ريال.

• معدل الفائدة السنوي ($r$) = 6% = 0.06.

• عدد مرات إضافة الفائدة في السنة ($n$) = 1 (بما أن الفائدة تضاف سنويًا).

• الزمن ($t$) = 5 سنوات.

نستخدم الصيغة العامة للفائدة المركبة:

$$A = 5000 \left( 1 + \frac{0.06}{1} \right)^{1 \times 5}$$
$$A = 5000 \times (1.06)^5$$
$$A = 5000 \times 1.338225$$
$$A \approx 6681.13$$

إذن، المبلغ النهائي بعد 5 سنوات سيكون تقريبًا 6681.13 ريال.

التمرين 2: حساب الفائدة المركبة عند إضافة الفائدة بشكل شهري

السؤال: إذا قام شخص بإيداع مبلغ 10000 ريال في بنك يعرض فائدة مركبة بنسبة 4% سنويًا، مع إضافة الفائدة بشكل شهري. ما هو المبلغ النهائي بعد 3 سنوات؟

الحل:

• المبلغ الأصلي ($P$) = 10000 ريال.

• معدل الفائدة السنوي ($r$) = 4% = 0.04.

• عدد مرات إضافة الفائدة في السنة ($n$) = 12 (بما أن الفائدة تضاف شهريًا).

• الزمن ($t$) = 3 سنوات.

نستخدم الصيغة العامة للفائدة المركبة:

$$A = 10000 \left( 1 + \frac{0.04}{12} \right)^{12 \times 3}$$
$$A = 10000 \left( 1 + 0.003333 \right)^{36}$$
$$A = 10000 \times (1.003333)^{36}$$
$$A \approx 10000 \times 1.12749$$
$$A \approx 11274.9$$

إذن، المبلغ النهائي بعد 3 سنوات سيكون تقريبًا 11274.9 ريال.

التمرين 3: حساب الفائدة المركبة على قرض

السؤال: إذا قام شخص باقتراض مبلغ 15000 ريال من البنك بفائدة مركبة بنسبة 8% سنويًا، وقام البنك بإضافة الفائدة كل 6 أشهر. ما هو المبلغ الذي سيحصل عليه بعد 4 سنوات؟

الحل:

• المبلغ الأصلي ($P$) = 15000 ريال.

• معدل الفائدة السنوي ($r$) = 8% = 0.08.

• عدد مرات إضافة الفائدة في السنة ($n$) = 2 (بما أن الفائدة تضاف كل 6 أشهر).

• الزمن ($t$) = 4 سنوات.

نستخدم الصيغة العامة للفائدة المركبة:

$$A = 15000 \left( 1 + \frac{0.08}{2} \right)^{2 \times 4}$$
$$A = 15000 \left( 1 + 0.04 \right)^{8}$$
$$A = 15000 \times (1.04)^8$$
$$A = 15000 \times 1.3728$$
$$A \approx 20592$$

إذن، المبلغ النهائي بعد 4 سنوات سيكون تقريبًا 20592 ريال.

التمرين 4: حساب الفائدة المركبة عندما تكون الفائدة تضاف بشكل مستمر

السؤال: إذا قام شخص بإيداع مبلغ 2000 ريال في بنك يعرض فائدة مركبة بنسبة 5% سنويًا، ويضيف الفائدة بشكل مستمر. ما هو المبلغ النهائي بعد 2 سنة؟

الحل:

في حالة الفائدة المركبة المستمرة، تُحسب الفائدة باستخدام الصيغة التالية:

$$A = P \times e^{rt}$$

حيث:

• $e$ هو أساس اللوغاريتم الطبيعي ($e \approx 2.71828$).

• باقي الرموز كما هي.

البيانات المعطاة هي:

• المبلغ الأصلي ($P$) = 2000 ريال.

• معدل الفائدة السنوي ($r$) = 5% = 0.05.

• الزمن ($t$) = 2 سنة.

نطبق الصيغة:

$$A = 2000 \times e^{0.05 \times 2}$$
$$A = 2000 \times e^{0.1}$$
$$A = 2000 \times 1.10517$$
$$A \approx 2210.34$$

إذن، المبلغ النهائي بعد سنتين سيكون تقريبًا 2210.34 ريال.

التمرين 5: حساب الفائدة المركبة على حساب تقاعدي

السؤال: إذا قام شخص بالاستثمار بمبلغ 50000 ريال في حساب تقاعدي يقدم فائدة مركبة بنسبة 7% سنويًا، ويضيف الفائدة بشكل ربع سنوي. ما هو المبلغ النهائي بعد 10 سنوات؟

الحل:

• المبلغ الأصلي ($P$) = 50000 ريال.

• معدل الفائدة السنوي ($r$) = 7% = 0.07.

• عدد مرات إضافة الفائدة في السنة ($n$) = 4 (بما أن الفائدة تضاف ربع سنويًا).

• الزمن ($t$) = 10 سنوات.

نستخدم الصيغة العامة للفائدة المركبة:

$$A = 50000 \left( 1 + \frac{0.07}{4} \right)^{4 \times 10}$$
$$A = 50000 \left( 1 + 0.0175 \right)^{40}$$
$$A = 50000 \times (1.0175)^{40}$$
$$A = 50000 \times 2.03037$$
$$A \approx 101518.5$$

إذن، المبلغ النهائي بعد 10 سنوات سيكون تقريبًا 101518.5 ريال.

خاتمة

من خلال تمارين الفائدة المركبة السابقة، يمكننا أن نرى بوضوح أن الفائدة المركبة تمثل أداة قوية لتحفيز النمو المالي. يتمثل المفهوم الرئيسي في إضافة الفائدة إلى رأس المال الأصلي مما يؤدي إلى تكاثر المبلغ على مر الزمن. الفائدة المركبة ليست فقط وسيلة لزيادة الأموال، بل هي أيضًا أساس لحسابات مالية دقيقة ومعقدة تتعلق بالقروض والودائع والتقاعد، مما يجعلها من المواضيع المهمة التي يحتاج الأفراد والمستثمرون إلى فهمها بشكل جيد لتحقيق أقصى استفادة من أموالهم.