تكلفة تسييج حديقة مستطيلة: حلاقتصادي بسعر 60 قرشًا.

نص المسألة المترجم:

أضلع حديقة مستطيلة تكونت بنسبة 3:2، ومساحتها 3750 متر مربع. ما هو تكلفة تسييجها بسعر 60 قرشًا للمتر؟

حل المسألة:

لنقم بتعبير أضلاع الحديقة بالطول والعرض، ولنمثلها بطول (3x) وعرض (2x) حيث x هو عامل النسبة.

إذاً، المساحة (A) للحديقة تُحسب بالضرب بين الطول والعرض:

$A = (3x) \times (2x)$

المعادلة تصبح:

$6x^2 = 3750$

لحل المعادلة نقوم بتقسيم الطرفين على 6:

$x^2 = \frac{3750}{6}$

$x^2 = 625$

$x = \sqrt{625}$

$x = 25$

الآن بمعرفة قيمة x، يمكننا حساب طول الحديقة وعرضها:

$\text{الطول} = 3x = 3 \times 25 = 75$

$\text{العرض} = 2x = 2 \times 25 = 50$

الآن، يمكننا حساب المحيط (P) للحديقة باستخدام الصيغة:

$P = 2(\text{الطول} + \text{العرض})$

$P = 2(75 + 50)$

$P = 2 \times 125$

$P = 250$

المحيط يُمثل بالأمتار، لكن لدينا تكلفة السياج بسعر 60 قرشًا للمتر. لذلك، يمكننا حساب التكلفة الإجمالية:

$\text{التكلفة} = P \times \text{سعر السياج للمتر}$

$\text{التكلفة} = 250 \times 0.6$

$\text{التكلفة} = 150$

إذاً، تكلفة تسييج الحديقة هي 150 جنيهًا.

نريد حل المسألة بمزيد من التفصيل وذلك باستخدام بعض القوانين والمفاهيم الرياضية المستخدمة في الحسابات والهندسة.

لنرمز إلى الطول بـ $l$ والعرض بـ $w$. نعلم أن نسبة الطول إلى العرض هي 3:2، لذلك:

$l:w = 3:2$

نستخدم مضاعف مشترك لهذه النسبة لتحديد القيم. يمكننا تعبير الطول والعرض بالشكل التالي:

$l = 3k$
$w = 2k$

حيث $k$ هو مضاعف مشترك للنسبة.

المساحة ($A$) للحديقة تحسب كمنتج الطول والعرض:

$A = l \times w$
$A = (3k) \times (2k)$
$A = 6k^2$

ووفقاً للبيانات المعطاة، نعلم أن المساحة تساوي 3750 متر مربع:

$6k^2 = 3750$

نقوم بحساب قيمة $k$ عن طريق حل المعادلة:

$k^2 = \frac{3750}{6}$
$k^2 = 625$
$k = \sqrt{625}$
$k = 25$

الآن نستخدم قيمة $k$ لحساب الطول والعرض:

$l = 3 \times 25 = 75$
$w = 2 \times 25 = 50$

حيث أن الطول يساوي 75 متر والعرض يساوي 50 متر.

نستخدم قانون حساب المحيط ($P$) للمستطيل، حيث:

$P = 2 \times (l + w)$
$P = 2 \times (75 + 50)$
$P = 2 \times 125$
$P = 250$

المحيط يُعبر عن المسافة الإجمالية للسياج الذي سيتم وضعه حول الحديقة.

أخيرًا، نستخدم قانون حساب التكلفة ($\text{التكلفة}$) بناءً على المحيط وسعر السياج للمتر:

$\text{التكلفة} = P \times \text{سعر السياج للمتر}$
$\text{التكلفة} = 250 \times 0.6$
$\text{التكلفة} = 150$

القوانين المستخدمة:

1. قانون حساب مساحة المستطيل: $A = l \times w$
2. حساب الجذر التربيعي لحساب قيمة $k$: $k = \sqrt{625}$
3. قانون حساب المحيط للمستطيل: $P = 2 \times (l + w)$
4. قانون حساب التكلفة: $\text{التكلفة} = P \times \text{سعر السياج للمتر}$