تكامل الدوال وتطبيقاته في الحساب (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي: “لنقم بتعريف الدوال $f(x) = 3x + 3$ و$g(x) = 4x + 3.$ ما هو الناتج عن تنفيذ التابع $f$ على ناتج تابع $g$ على القيمة 2، أي $f(g(f(2)))$؟”

الحل:
أولاً، نقوم بحساب قيمة $f(2)$. نعوض $x$ بقيمة 2 في تعريف الدالة $f$:
$f(2) = 3 \times 2 + 3 = 6 + 3 = 9.$

ثم، نقوم بحساب قيمة $g(f(2))$. نعوض $x$ بالقيمة التي حصلنا عليها في الدالة $f$ في تعريف الدالة $g$:
$g(f(2)) = 4 \times 9 + 3 = 36 + 3 = 39.$

أخيرًا، نقوم بحساب قيمة $f(g(f(2)))$. نعوض $x$ بالقيمة التي حصلنا عليها في الدالة $g$ في تعريف الدالة $f$:
$f(g(f(2))) = 3 \times 39 + 3 = 117 + 3 = 120.$

إذاً، $f(g(f(2)))$ يكون 120.

لنقم بحل المسألة بمزيد من التفصيل وذلك باستخدام القوانين الرياضية المتعلقة بعمليات التكرار والتعويض.

أولاً، لنعيد تعريف الدوال:
$f(x) = 3x + 3$
$g(x) = 4x + 3$

الخطوة الأولى: حساب $f(2)$
نعوض $x$ بقيمة 2 في تعريف الدالة $f$:
$f(2) = 3 \times 2 + 3 = 6 + 3 = 9$

الخطوة الثانية: حساب $g(f(2))$
نعوض $x$ بالقيمة التي حصلنا عليها في الدالة $f$ في تعريف الدالة $g$:
$g(f(2)) = 4 \times 9 + 3 = 36 + 3 = 39$

الخطوة الثالثة: حساب $f(g(f(2)))$
نعوض $x$ بالقيمة التي حصلنا عليها في الدالة $g$ في تعريف الدالة $f$:
$f(g(f(2))) = 3 \times 39 + 3 = 117 + 3 = 120$

تم استخدام القوانين التالية:

1. خاصية التعويض: استبدال قيمة المتغير بتعبير يحتوي على نفس المتغير.
2. خاصية التكرار: تكرار استخدام نتيجة دالة في دالة أخرى.

هذه القوانين أساسية في الجبر وتستخدم لتسهيل حسابات تكرارية وتعويض القيم. في هذه المسألة، تم استخدام هذه القوانين لحساب قيمة متكررة لدالة داخل دالة، وذلك باستخدام القيم التي تم حسابها سابقاً.