تقدير مجموع متتاليات باستخدام التقارب (مسألة رياضيات)

المتتالية $a_1, a_2, a_3, \dots$ محددة بشكل متكرر بواسطة $a_1 = 1,$ $a_2 = 1,$ وبالنسبة لـ $k \ge 3,$
$a_k = \frac{1}{3} a_{k – 1} + \frac{1}{4} a_{k – 2}.$
لحساب قيم المتتالية، يمكننا استخدام العلاقة الإعادية المعطاة للعثور على قيم الأعضاء التالية بناءً على الأعضاء السابقة.

لنقوم بتطبيق العلاقة الإعادية لحساب القيم:

نلاحظ أننا نستخدم القيم السابقة لحساب القيم الجديدة في كل خطوة. يمكننا ملاحظة نمطًا يظهر في الأعداد الجديدة.

يبدو أن هذه المتتالية تتجه نحو قيمة معينة مع تقدمنا في تحديد أعضائها. لحسن الحظ، يمكننا استخدام هذا الملاحظة لتطوير تقدير لمجموع السلسلة.

دعونا ننظر إلى العلاقة بين الأعضاء المتتالية:

$a_k = \frac{1}{3} a_{k – 1} + \frac{1}{4} a_{k – 2}$

إذا قمنا بتقسيم كل عضو على العضو السابق، سنحصل على:

$\frac{a_k}{a_{k-1}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{a_{k – 2}}{a_{k – 1}}$

إذاً، إذا كانت السلسلة تتجه نحو قيمة معينة، فإن نسبة كل عضو إلى العضو السابق ستقترب من الثابت. لنفترض أن هذا الثابت هو $r$.

بالتالي:

$\frac{a_k}{a_{k-1}} = r$

ونحن نعلم أن:

$r = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{a_{k – 2}}{a_{k – 1}}$

ومن هنا يمكننا حساب قيمة $r$ وهي:

$r = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{r}$

وبحل المعادلة السابقة، يمكننا العثور على قيمة $r$، وبالتالي، نحصل على قيمة $a_1 + a_2 + a_3 + \dotsb$.

لحل المسألة وتحديد قيمة $a_1 + a_2 + a_3 + \dotsb$، يمكننا استخدام مفهوم التقارب والتلاشي في المتتاليات اللا نهائية. هذا يعتمد على فكرة أن العناصر في المتتالية تتجه نحو قيمة ثابتة عندما يكون عددها كبيرًا بما فيه الكفاية.

القوانين المستخدمة في الحل تتضمن:

1. العلاقة الإعادية: هي العلاقة التي تعرف كل عنصر في المتتالية بناءً على العناصر السابقة في المتتالية.
2. مفهوم التقارب والتلاشي في المتتاليات اللا نهائية: هذا المفهوم يقول إنه عندما يكون لدينا متتالية لا نهائية وتتجه نحو قيمة معينة، يمكن استخدام هذه القيمة لتقدير مجموع المتتالية.

الآن، للحصول على القيمة المطلوبة، يمكننا استخدام العلاقة الإعادية المعطاة في المسألة:
$a_k = \frac{1}{3} a_{k – 1} + \frac{1}{4} a_{k – 2}$

ونحن بحاجة إلى حساب قيمة $r$ التي تمثل نسبة كل عنصر في المتتالية إلى العنصر السابق. يمكن حساب $r$ من العلاقة:
$r = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{a_{k – 2}}{a_{k – 1}}$

بحل هذه المعادلة، يمكننا العثور على قيمة $r$، وبالتالي، نحصل على قيمة $a_1 + a_2 + a_3 + \dotsb$.

من ثم، نستخدم هذا المعلومات لتقدير مجموع المتتالية بواسطة استخدام قيمة $r$ وأول عنصرين في المتتالية. باستخدام هذا التقدير، يمكننا الحصول على تقدير جيد لمجموع المتتالية.

هذه الطريقة تعتمد على الرياضيات التحليلية واستنتاجاتها حول سلوك المتتاليات اللا نهائية والتقارب نحو قيم معينة.