تقاطع دائرة B مع المحور الرأسي (مسألة رياضيات)

الدائرة B ذات المركز في (-6، 2) ونصف قطر يبلغ 10 وحدات تتقاطع مع محور الصفر (y-axis) في نقطتين. ما مجموع الإحداثيات الصادرة لهاتين النقطتين؟

حل المسألة:
لنجد نقاط التقاطع مع محور الصفر (y-axis)، يجب أن نتذكر أن المحور الرأسي (y-axis) يمثل الخطوط التي تكون لديها x بقيمة صفر. لذلك، عندما نقوم بتقاطع الدائرة B مع المحور الرأسي، نحصل على نقطتين على الأقل.

للعثور على هذه النقطتين، نستخدم المعادلة العامة للدائرة: $(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$

حيث:

• $h$ و $k$ هما إحداثيات مركز الدائرة.
• $r$ هو نصف قطر الدائرة.

في هذه الحالة، المعادلة تكون:
$(x + 6)^2 + (y – 2)^2 = 10^2$

للحصول على نقاط التقاطع مع المحور الرأسي (y-axis)، نجعل $x$ يكون صفرًا في المعادلة:
$(0 + 6)^2 + (y – 2)^2 = 10^2$

الآن، سنقوم بحساب قيمة $y$ للنقطتين.

$(6)^2 + (y – 2)^2 = 100$

$36 + (y – 2)^2 = 100$

$(y – 2)^2 = 64$

$y – 2 = ±8$

$y = 2 + 8$ أو $y = 2 – 8$

لذا، النقطتين هما: (6, 10) و (6, -6)

الآن، نجيب على السؤال الأصلي: ما مجموع الإحداثيات الصادرة لهاتين النقطتين؟

مجموع الإحداثيات الصادرة هو $10 + (-6) = 4$.

بالتأكيد، سنقوم بتوضيح الحل بشكل أكثر تفصيلاً وسنشرح القوانين والمفاهيم التي تم استخدامها في الحل.

المسألة:
الدائرة B ذات المركز في (-6، 2) ونصف قطر يبلغ 10 وحدات تتقاطع مع محور الصفر (y-axis) في نقطتين. ما مجموع الإحداثيات الصادرة لهاتين النقطتين؟

الحل:

1. معادلة الدائرة:
   استخدمنا معادلة الدائرة العامة: $(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$
   حيث:

   • $h$ و $k$ هما إحداثيات مركز الدائرة.
   • $r$ هو نصف قطر الدائرة.

   في حالتنا:
   $(x + 6)^2 + (y – 2)^2 = 10^2$

2. التقاطع مع المحور الرأسي (y-axis):
   قمنا بوضع $x$ يساوي صفر في المعادلة لأن نقاط التقاطع مع المحور الرأسي لديها $x$ يساوي صفر.
   $(0 + 6)^2 + (y – 2)^2 = 10^2$

3. حساب قيمة $y$:
   قمنا بحساب قيمة $y$ للنقطتين عن طريق حل المعادلة:
   $(y – 2)^2 = 64$

   الحل:
   $(y – 2) = ±8$
   $y = 2 + 8$ أو $y = 2 – 8$

   لذا، النقطتين هما: (6, 10) و (6, -6)

4. مجموع الإحداثيات:
   قمنا بجمع قيم $y$ للنقطتين للحصول على المجموع:
   $10 + (-6) = 4$

قوانين ومفاهيم استخدمناها:

• معادلة الدائرة العامة: استخدمنا معادلة الدائرة لوصف الدائرة بناءً على إحداثيات مركزها ونصف قطرها.
• تقاطع مع المحور الرأسي (y-axis): نظرًا لأن المحور الرأسي يتمثل في $x = 0$، قمنا بوضع $x$ يساوي صفر للعثور على نقاط التقاطع مع المحور الرأسي.
• حساب قيم $y$: قمنا بحل المعادلة للحصول على قيم $y$ لنقاط التقاطع.
• الجمع والطرح: استخدمنا عمليات الجمع والطرح للحصول على مجموع الإحداثيات للنقطتين.

باستخدام هذه القوانين والمفاهيم، تمكنا من حل المسألة والعثور على نقطتي التقاطع وحساب مجموع الإحداثيات.